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«2 _|_ p2 — ,^2 __ ^ _ Remplaçant «, jS , y par a', |3', y', on a deux 

 autres points S, s, et par suite l'égalité Rs^ — Sf^ = o. 



Le théorème d'ivory est ainsi démontré. On en peut dé- 

 duire celui de Jacobi, par les deux hypothèses u = — c^ ou 

 u — b\ 



Pour u=. — c^ l'équation (G) donne :; = o, et à cause de 



l'indétermination de la quantité positive -— - — , elle repré- 



sente un hyperboloïde limite dont tous les points sont dans le 

 plan des xy extérieurs à la courbe ayant pour équation 



et qui est l'ellipse focale de l'hyperboloïde donné dans le plan 

 des xy. 



L'hypothèse u = — c^, qui annulle le z du point r, donne 



pour Vx et l'y de ce point a ya^ -}- c^, p yjb'^ -\- c^, et ces 

 quantités, substituées dans le premier membre do (5), le 

 rendent égal à oc^ -\- p on \ -}- y^, c'est-à-dire plus grand que 

 le deuxième membre ; on vérifie ainsi que r est extérieur à 

 la courbe (5); il en est de même pour les points 5, t, etc., cor- 

 respondant aux points S, T, etc., de l'hyperboloïde. 



Il résulte de ces raisonnements qu'un point quelconque M 

 de la surface est déterminé par les trois conditions 3Ir = Rm, 

 Ms = S?n, Mt = Tm , R, S, T étant trois points fixes de l'hy- 

 perboloïde, r, s, t leurs points correspondants du plan des xy , 

 et m étant un point du plan pris en dehors de la courbe (5). 



Si on suppose R, S, T sur l'ellipse principale du plan des 

 xy, r, s, t sont sur la focale : donc, étant donnés les axes, on 

 peut construire un point quelconque de l'hyperboloïde. 



L'équation de la surface s'obtient par un calcul semblable 

 à celui qui a été fait dans le cas de l'ellipsoïde. 



On voit facilement que, dans cette construction, les trois 



quantités V^^^^^-^, sJrT^^^^^TF, \/sr^—st^ sont imagi- 

 naires. 



