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L'hyperboloïde est de révolution pour b= a. Les triangles 

 EST, rst, inscrits dans les deux circonférences concentriques 



de rayons a et \a^ — c^, ont leurs côtés parallèles. 



— L'hypothèse u = b^ conduit à un deuxième mode de 



construction de l'hyperboloïde à une nappe. En effet, l'équa- 



x^ y- z^ 



tion — 1- -—^ -^^ — = 1 , pour u = b^, donne 



a^ — u b^ — u c^ -\-u 



y = o, et, à cause de l'indétermination de la quantité positive 



72 , elle représente un hyperboloide limite dont tous les 



points sont extérieurs à la courbe 



X^ -2 



^^) a2 — 62 "" 62+^ "^ ^ • 



Si on considère le point r dont l'a; et le z sont deveuus 

 a \j(v^ — 6^, 7 \Jb^ -\- c\ et si on substitue ces valeurs dans le 

 premier membre de (6), le résultat a^ — y^ = \ — ^^ < l 

 montre que le point est extérieur à la courbe ; on voit aussi 

 que r est sur cette ligne quand on a /3 = o, c'est-à-dire quand 

 R est dans le plan des xz. 



La courbe (6) est l'hyperbole focale de la surface; elle a les 



mêmes foyers que la section principale — — ~^ = ^ et lui est 



extérieure. 



R, S, T étant trois points fixes de l'hyperboloïde, r, 5, t 

 leurs points correspondants du plan des xz et m' le point de ce 

 plan correspondant au point if de la surface, les égalités Mr 

 = Rm\ Ms = Sm\ Mt = Tin déterminent M. 



En supposant R, S, T sur l'hyperbole -^ ^= \, r, s, t 



Cl c 



sont sur la focale (6); on peut, d'après cela, construire un 

 hyperboloïde à une nappe dont les trois axes sont connus, au 

 moyen de deux hyperboles homofocales (U. 



(1) Dans la figure (V). OA = a, 0B = b. OF=z sja'^ + c^, OD=\/bH^ 

 Of=i slôT^HY^. Les courbes ABA\ ARA'R' sont les sections principales 



