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Il résulte de ces expressions que les trois quantités 



^RS- — rs\ yjnr — rt^, s/sr — st^ sont imaginaires quand 

 cosî*, cosy', cos^" sont tous les trois positifs ou négatifs, et 

 que deux des quantités sont réelles et la troisième imaginaire 

 lorsque les trois cosinus n'ont pas le même signe. 



L'hyperboloïde est de révolution quand b = a. Par cette 

 hypothèse, l'équation (6) donne a; = o, et les points r, s, t, etc., 

 sont sur l'axe des z. Cette ligne est l'axe de la surface de ré- 

 volution, dont la construction est analogue à celle d'une hy- 

 perbole déterminée par deux points R, S et par leurs corres- 

 pondants r, s sur l'axe imaginaire de la courbe. 



Hyperboloïde à deux nappes. — Les calculs sont les mêmes 

 que dans le cas de l'hyperboloïde à une nappe, en changeant 

 dans les équations des surfaces I en — 1 et en supposant 

 aussi «^ -\- p- — y- = — 1 . On a donc les égalités Rs = ^r, Rt 

 = Tr, etc., R, S..., r, s... étant les points correspondants des 

 deux hyperboloïdes à deux nappes homofocaux. 



On peut encore faire les deux hypothèses u= — c'^ etu=b^. 



Pour u = — c% les points r, s, etc., sont dans le plan des 

 xy et coïncident avec tous les points de ce plan, puisque le 



second membre de l'équation — 1- — = -r— 1 



a^ — u b' — u c^-\-u 



a une valeur positive quelconque pour z = o et w= — c^. 



Cette propriété résulte d'ailleurs de ce que les coordonnées 



du point quelconque r qui sont a sja^ -f- c^, /3 yjb^ -{- c^ peuvent 

 passer par tous les états de grandeur à cause de la relation 



On déduit de là qu'un point quelconque m du plan des xy 

 détermine, avec les triangles RST, rst supposés fixes, un point 

 correspondant M de la surface, et on a par suite un moyen 

 de construire un hyperboloïde à deux nappes, dont les trois 

 axes a, b, c sont donnés ; il suffit, en effet, de considérer trois 

 points R, S, Tk la môme distance h = cy> c du plan des xy. 

 Les projections R\ S', T de ces points seront sur la courbe 



