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Lorsque b = a, l'équation donne a; = o , et les points r, s, 

 t, etc., sont sur l'axe des z. Dans ce cas, un parallèle de la 

 surface de révolution est donné par la même construction 

 qu'un point d'une hyperbole , étant donnés deux points R, S 

 de la courbe et leurs correspondants r, s sur l'axe réel. 



Cônes. — Le théorème d'Ivory s'applique aux deux cônes 



y z^ n ^" I y 



•^\E — — — \- 



b'^ — it c'^ -{-u 





Les coordonnées d'un point R de la première surface étant 

 fla, fc|3, cy, celles du point correspondant r de la deuxième 



sont a \Ja^ — u , /3 \/h- — u, y y/c^ + w, et supposant a- + p 

 — y2 =: 0, 5 et s étant deux autres points correspondants, on 

 aRs = Sr; mais on remarque en outre que deux points cor- 

 respondants des deux cônes sont à la même distance du som- 

 met commun 0, c'est-à-dire que OR = Or, OS = Os, etc. 



On obtient pour le cône une construction analogue à celle 

 des autres surfaces du second degré en faisant u = — c^ dans 

 l'équation du cône auxiliaire qui se confond ainsi avec le plan 

 des xy. 



Si on suppose que R, S, T sont trois points de la surface 

 donnée à la même distance h de ce plan , leurs projections 

 jR', 5', T sont sur l'ellipse 



a^ y^ h^^ 



^ "^ &^ — c2 ' 



et les points r, s, t sont sur la courbe 

 „2 ~r ^.2 „2 



le point M, dans ce cas, se construit comme dans l'hyperbo- 

 loïde à deux nappes. 



On a une autre construction fondée sur les propriétés des 

 lignes focales du cône en supposant u = b^. Les points r, s, 



