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et la substitution rend le premier membre égal à p — a ou 

 — 7, quantité négative, puisque y est essentiellement positif. 



Le point r est sur la focale quand 7 = 0; le point R est 

 alors sur la parabole principale du plan des xy, dont tous les 

 points ont pour correspondants ceux de la focale. 



D'après ce qui précède, un point quelconque M du paraho- 

 loïde est lié à trois points fixes R, S, T de cette surface, par 

 les conditions : 3Ir = Rm, Ms = Sm, Mt = Tm, r, s, t, m étant 

 dans l'intérieur de la focale. 



Quand R, S, T sont sur la parabole principale, r, s, t sont 

 sur la focale, et on a ainsi une construction du paraboloïde 

 elliptique, qui est la même que celle des surfaces à centre. 



Il est facile de vérifier ce résultat par le calcul. Les coor- 

 données de R sont 



celles de r, 



soient x, y, z les coordonnées de M, x\ y' celles de m, l'éga- 

 lité Mr^=Rm donne l'équation 



(- - 4^f +('•'- vs^^)' + -'" = (-■ -ti 



+ (y' — ^P'^Y- 



On a deux autres équations analogues correspondant aux 

 égalités Ms = Sm., Mt= Tm, en remplaçant a par «' et a". En 

 retranchant successivement ces deux équations de la première, 

 on a en simplifiant 



[v/â-f-\/«] [^' — ^ — I] + 2[i/v^p — p' -'y'\lp] = o, 

 [sfc -)- y/^] yx — ^— l ] + 2 [1/ Vp — / — y' \lv]=o, 

 d'où on déduit 



