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perboliques qui conduisent aux mêmes conséquences. Les 

 résultats diffèrent en ce que, par l'hypothèse u = — b-, un 

 point du cylindre donné a pour correspondant un point situé 

 en dehors de la portion du plan des xz comprise entre les 

 deux focales x = ±c; les points fixes r, s, t seront sur ces 

 lignes, quand R, S, T sont sur les génératrices x = zha, 

 comme dans le cylindre elliptique (l). 



(1) On peut aussi faire u:=a^ dans l'équation ■ — = 1 ; 



a^ — u b^,-{-u 



il en résulte x=iO et le cylindre se confond avec le plan des yz; par 



suite on peut construire un point quelconque du cylindre au moyen de 



trois points fixes de cette surface et de leurs points correspondants du 



plan des yz, ces points étant situés à des distances différentes du plan 



des xy. 



On peut remarquer que, quand les points fixes H, S, T sont à la même 

 hauteur au-dessus de ce plan, c'est-à-dire quand r, s, t est une ligne 

 droite, on a pour lien géométrique une infinité d'hyperboloïdes de révo- 

 lution à une nappe. 



Soit, en effet, M un point du cylindre hyperbolique ayant pour coor- 

 données a^, br\, h, celles du point correspondant m sont o, cy\, h. Les 

 points fixes R, S, T peuvent être supposés dans le plan des xy ; les coor- 

 données de R sont alors act, b^, et celles de r, o et cp. On a donc : Mr'^ 

 — Rm- = a'-î;2 -^ (fty] _ cp)2 -|- /^2 _ a2a2 — (ftp — cvi)2 — h- = o, à cause 

 des conditions î;- — vi^ = 1, et a^ — (3"- = 1. Mais si on considère la cir- 

 conférence qui, passant par M, a son plan perpendiculaire à l'axe des 

 y et son centre sur cet axe, un point P de cette circonférence dont le 



rayon est ^a-'Ç-' -j- h'^, a pour coordonnées x =: s/aK^ + h^ cos ç, y =. 



hr\. z=. sja-ï;- + h'^ sin 9, et on a Pr'^ =■ [a-Ç- -f- h^) cos ^^ -|- (b-/] — cp)2 

 -f-(a-Ç2^A2) sm-<p = ]\Ir" = Rm-, et de même Ps"^ = Ms- = Sm^ , etc. 

 Donc les trois sphères décrites de r, s, t, comme centres, se coupent 

 suivant une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la ligne rsi 

 et dont le centre est sur cet axe. Par suite tous les points situés à la 

 même hauteur h que le point m dans le plan des yz, déterminent une 



surface de révolution, dont l'équation, facile à calculer, est x- ~ 



Plans. — Le système de deux plans concourants peut être considéré 

 comme un cas particulier du cylindre hyperbolique dans lequel a Qi b 



deviennent nuls, - ayant une limite finie. Soient OZ l'intersection des 

 a 



deux plans et Ox, Oy les traces des plans bissecteurs sur un plan per- 



