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D'après la position de ces points, on a RS^ — rs^ = o, et 

 Rfi — rt^ = ST'- —st'- = àzb-, suivant que le cylindre est 



elliptique ou hyperbolique, c'est-à-dire que s/RT^ — rt^ et 



\/ST'^ — st'^ sont réelles dans le premier cas et imaginaires 

 dans le second. 



Le cylindre paraboUqite est la limite d'un cylindre ellip- 

 tique dans lequel le sommet i et le foyer F de l'ellipse de 

 base restant fixes, les axes 2a, 2b croissent indéfiniment. En 

 supposant les points R, S sur la génératrice du point A, les 

 points corresiîondants r, s sont sur la parallèle menée par F. 

 Les points T, l s'éloignent indéfiniment, la distance Tl restant 

 constamment égale à AF, et par suite la sphère décrite de t 

 comme centre avec Tm pour rayon a pour limite un plan 

 mené parallèlement au plan tangent en A, à une distance 

 égale à celle du point m diminuée de AF. L'intersection de 



pendiculaire à OZ : pour obtenir le point Z du plan des xz correspon- 

 dant à un point R du système, on abaisse RR' perpendiculaire au plan 

 des xy, on prend sur Ox Or' = OR' et on élève la perpendiculaire r'r 

 = R'R. On construit de la même manière les points s, t, m correspon- 

 dants de S, T, M, et dans la figure ainsi formée, on a : Rm = Mr, Sm 

 = Ms, Tm = Mt. 



Les triangles RST, rst, ont leurs côtés égaux chacun à chacun, lorsque 

 les points R, S, T sont tous les trois dans l'un des deux plans donnés-, 

 mais si T est dans un de ces plans, R et S étant dans l'autre, on a 

 RT % rt et ST % st. 



Lorsque, beta étant nuls, - est infini, les deux plans se confondent 



en un seul qui est le plan des yz, le plan des xz qui contient r, s, t étant 

 un plan quelconque perpendiculaire à RST. Si on mène le plan des xy 

 perpendiculairement à OZ, il sufût, pour la construction de Jacobi, que 

 les projections des points sur les traces des deux plans satisfassent aux 

 conditions : Or'^ - OR''' = Os'^ - OS"' = On — OT'' = Om"' - Oin. 



Un système de deux plans paralVcles s'obtient en prenant pour cor- 

 respondants des points de ces plans leurs projections sur le plan paral- 

 lèle équidistant : mais on peut aussi choisir arbitrairement un point r 

 de ce pian de symétrie comme correspondant d'un point R. R' étant la 

 projection de R sur ce plan, on a le point s correspondant à S enjoignant 

 la projection S' au point / milieu de R'r et en prolongeant d'une lon- 

 gueur Is = IS' ; en effet, on a ainsi Rs = Sr. 



