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ce plan limite et des deux sphères qui ont pour centres r et 5 

 et pour rayons Rm et Sm, donne deux points du cylindre pa- 

 rabolique. 



On peut d'ailleurs construire le cylindre au moyen de trois 

 points fixes quelconq jes de la surface et de leurs correspon- 

 dants dans le plan principal. La démonstration directe se dé- 

 duit du théorème d'Ivory appliqué aux deux cylindres para- 

 boliques 



7/ = 2px, 1/ = 2 (29 + w) fa; 4- y V 



le second de ces cylindres se confondant avec le plan des xz 

 pour u = — p. Les points if, S étant sur la génératrice qui 

 passe par le sommet, et r, s sur la parallèle menée par F et 

 qui est la focale, on choisira, par exemple, t sur FA et T sera 

 le point correspondant de la parabole principale. 



La théorie qui précède démontre lé théorème général de 

 Jacobi. 



« Deux triangles EST, rst sont inscrits dans deux lignes du 

 second degré homofocales, de manière que Rs = Sr, Rt = Tr, 

 St = Ts; on joint R, S, T k un point ?7i du plan ; le point d'in- 

 tersection de trois sphères ayant r, s, t pour centres et Rm, 

 Sni, Tm pour rayons, est sar une surface du second degré, et 

 si on forme les trois quantités 



^[iS2 — rs\ \JrT^ — rt^, \JST'—st\ 

 le lieu est : 1 ° un ellipsoïde, lorsque les trois quantités sont 

 réelles et que la plus grande est inférieure à la somme des 

 deux autres ; 



2° Un hyperboloïde à une nappe, lorsqu'elles sont imagi- 

 naires ou que deux sont réelles et la troisième imaginaire ; 



3" Un hyperboloïde à deux nappes, si deux des quantités 

 sont imaginaires et la troisième réelle, ou si elles sont réelles 



