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L'équation de l'ellipse, rapportée à son centre et à ses axes, 



étant 



(1) a^y^ -}- b^x^ — a^b^ = , 



les pieds M^ , M.^ , M^ , J/^, des normales menées à cette courbe 

 par un point (a?", y"), sont les points d'intersection de l'ellipse 

 et de l'hyperbole 



(2) c^xy — a'^x"y + bhfx = o. 



En éliminant y entre les équations (1) et (2), on obtient 

 l'équation 



(3) c'x' — 2a^c^x"x^ + a^ (a^x"^ + bhp — c') x^ + 2a^c^x"x 



— a^x"^ = , 



dont les racines sont les abscisses des points M^ , M^, M^^ M^. 

 L'élimination de y entre l'équation de l'ellipse et celle du 

 cercle représenté par 



(4) (aj_a)2+(y_p)2_/J2^0, 



dans lesquelles «, p, /?, sont des quantités indéterminées, 

 donne, en posant pour abréger 



o,^-\-^^-\-b^ — R^ = —l\ 

 l'équation du 4^ degré 



(5) c'x' — Aa^c^ax^ + a^ {^a^oi^ + Aby - 2cH^) x^ 



_)_ AaH<^^x + a" [l' — Ab^^^)=o, 



dont les racines sont les abscisses des points d'intersection de 

 l'ellipse et du cercle. Cette équation ne peut pas être iden- 

 tifiée avec l'équation (3) ; mais si dans celle-ci on remplace 

 X par tx, t désignant une inconnue auxiliaire, on peut écrire 

 que la nouvelle équation, divisée par t\ a ses coefficients 

 égaux \ ceux de (5) ; il en résulte quatre équations pour dé- 

 terminer a, p, R et t. 

 La valeur de t est donnée par l'équation 



2 _ a^x"^ -\- c* 



