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polynôme (7). Pour avoir le second diviseur, on remarque 

 qu'il pourra s'écrire 



-J^zy — bY. 



2^ -y" 



z étant indéterminé et le premier facteur étant conservé sous 

 la forme : 



{2P-y")y^ + c22/-}-6Y- 



Multipliant ces deux trinômes et égalant les coefficients 

 des termes en y dans le produit et dans le polynôme (7) on a 



Substituant cette valeur, on aura, après avoir multiplié 



tous les termes par 2p — y\ l'équation cherchée 



(10) cV-ôV (2p-î/") y-bY (2P-î/") = o 



dont le produit par l'équation (9) donne l'équation (7j. 



Les racines de (9) sont les ordonnées des points qu'on a dé- 

 signés par J/, , M., et qui sont communs à l'ellipse, à l'hyper- 

 ■ bole et à la circonférence (C). Les racines de (10) sont les or- 

 données des deux autres points .¥3 , ¥^ communs à l'ellipse et 

 à l'hyperbole. 



On vérifie facilement que l'équation (8) est le produit do 

 l'équation (9) par l'équation 



chf + bh^ (2P - y"] y - bhf (2P - y") = , 



dont les racines, égales et de signes contraires à celles de (10), 

 sont les ordonnées des deux autres points M\ , M',^ , où la cir- 

 conférence (C) rencontre l'ellipse. 



Il est permis de supposer que x\ y" sont des quantités po- 

 sitives et on peut prendre aussi pour p la valeur positive. 

 Alors l'équation (10) a toujours ses racines réelles et par con- 

 séquent les points J/3 , M,^ sont sur la branche d'hyperbole qui 

 passe par le centre de l'ellipse et par le point donné, et qui, 

 dans le cas où ces coordonnées remplissent la condition 



irx"-^ — bhj"^ = , 



