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a pour tangente à l'origine la diagonale du rectangle des axes 

 menée dans l'angle des coordonnées où est le point {x\ y"). 

 Les racines de l'équation (9) ne sont réelles que si on a la 

 condition 



2P > Sy" 



qui devient, en remplaçant 2p par sa valeur tirée des équa- 

 tions (6), 



pi 



c'est-à-dire quand le point x\ y" est à l'extérieur de la déve- 

 loppée de l'ellipse. 



Les points M^ , M^, dont les ordonnées sont racines de l'é- 

 quation (9), sont donc les points réels ou imaginaires communs 

 à l'ellipse, à la circonférence [C] et à l'autre branche de l'hy- 

 perbole. 



— Il est maintenant facile d'opérer la décomposition de l'é- 

 quation (3) en deux équations du second degré. En effet, y^ , 

 1/2 désignant les racines de l'une quelconque des équations 

 (9) et (10), on a, d'après l'équation (2), pour calculer les ab- 

 scisses correspondantes, les deux équations du premier degré, 



(c^Vt + bhj") ^ — «^^'Vi = 

 {c^y.2 + h^y") X — a-x"y.2 = 

 Si on multiplie entre elles ces deux équations et si on rem- 

 place dans le produit y^ y.^ oXy^-\- y 2 par leurs valeurs tirées 

 successivement des équations (9) et (10), suivant qu'on con- 

 sidère les points M^ , ¥3 ou les points M3, #; , on obtient, en 

 observant que ax" = by" et en simplifiant les deux équations 

 du second degré : 



«^ /., , V. , a?^x" (2p + iy") 



(11) ^'-3-(2P + î/>H \, =^ 



(1 2) r''j;- -|- abc- (2(3 — y") x — a^bx" (2p — y") = 



dont le produit est identique à l'équation (3), quand on rem- 

 place p par sa valeur tirée des équations (6). 



