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Les droites (9) et (11) déterminent les coordonnées des 

 points M^ et Mj^ qui sont toujours réels, les droites (10) et (12) 

 donnent les coordonnées des points Mjf et M^ qui peuvent être 

 imaginaires. En calculant au moyen de ces équations les 

 coefficients angulaires des droites 31 ^ M.^ et M^ #^, on trouve, 

 en supposant toujours x" y" positifs , que ces coefficients an- 

 gulaires sont égaux à —, c'est-à-dire que ces deux droites sont 



parallèles à la diagonale du rectangle des axes situés dans le 

 même angle des axes que le point x" y". 



On peut trouver directement ce résultat en cherchant l'é- 

 quation qui donne le système des droites passant par les pieds 

 des normales. Cette équation est, comme on le sait, 



où X est donnée par l'équation 



4^2^2X3 _|_ X (a2a;"2 -f bhp — c^) + cH"ij" = o. 



Celle-ci devient, en posant ax" = by\ 



(14) 4^2^2x3 _|_ X (2a2a^"2 _ c') + ^x"'^ = o. 



Elle peut s'écrire : 



/1'T>"2 



X (4a262X2 _ c^) + -_ (2a&x -f c^) = o 



et sous cette forme on voit qu'elle admet la racine commen- 



c2 



surable -7^-7- • Substituant cette valeur dans l'équation (13), 

 zab 



on obtient l'équation d'un système des deux droites parallèles 



à la diagonale ay — bx = o. 



— En s'appuyant sur les résultats précédents, on peut aussi, 



dans le cas où a^x"^ = b'^y"'-^, décomposer en deux équations 



du second degré l'équation 



( 1 5) b'x"hn^ — 2b''x"y"m^ -\- {aH"^ + bY^ — c^) ni? 

 — 2a^x"y"m -\- o?y"'^ = o, 



