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Ce qu'on écrit en abrégé i AB cos [AB, X'X) = o, et qu'on 

 énonce : la somme des projections des côtés d'un polygone fermé 

 sur une droite quelconque est égale à zéro. 



16. Si dans l'égalité précédente on fait passer au second 

 membre un quelconque des termes, par exemple 



M'cos(Z)£, ri], 

 on obtient : 



— DE cos [DE, X'X] = aB cos {AB, X'X) + BC cos [BC, X'X) 

 + CD cos [CD, X'X) -f- EF cos [EF, X'X] -f- FA cos [FA, X'X). 



Mais — DJ: cos [DE, X'X) = ED cos {ED, X'X] puisque les di- 

 rections DE, ED sont opposées. On a donc 



ED cos (ED, X'X) = EF cos {EF, X'X) + FA cos {FA, X'X) 

 + AB cos [A3, X'X] + BC cos [BC, X'X) -f CD cos (CD, X'X), 



c'est à dire que la projection sur X'X de la droite ED ou du plus 

 court chemin pour aller de E en D est égale à la somme des pro- 

 jections des droites qui forment un chemin polygonal quelconque 

 EFABCD menant du premier point au second. 



Le côté ED qui forme la ligne polygonale EFABCD s'appelle 

 la résultante des lignes EF, FA, AB, BC, CD, appelées compo- 

 santes et le théorème s'énonce alors : La projection de la ré- 

 sultante est égale à la somme des projections des composantes. 

 Ce théorème, dont les applications sont nombreuses en ma- 

 thématiques, sert à démontrer de la manière la plus simple 

 et la plus générale les formules relatives à la somme et à la 

 différence de deux arcs. 



17. Calcul de cos (a -\- h) (fig. 10). — Soit a l'arc AM compté 

 de A en M dans le sens ABA'B' et b l'arc AB'N porte dans le 

 sens ABA'B', a et 6 étant les longueurs des arcs en prenant 

 pour unité le rayon de la circonférence. En partant de N et 

 en allant dans le sens NA'D... pour arriver en M, on parcourt 

 ainsi toujours l'arc a-\-b, quelles que soient les positions des 

 points M el N sur la circonférence. Menant MP et OM, et pro- 

 jetant la figure OPM sur la direction ON, on a : 



