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OM cos [OM, ON] = 0P cos (OP, ON) + PM cos (PJ/, ON), 

 égalité qui est générale. Gela posé, OM est 1 et l'angle de OM 

 avec ON est toujours a -\- b. Le premier membre est donc 

 cos [a -\- b). Dans le second membre, OP est cos a ou — cos a. 

 Dans le premier cas cos [OP, ON) est cos 6, puisque la direc- 

 tion de OP est celle de Oi, et le produit OP cos (OP, ON) est 

 cos a cos b. Dans le second cas, cos [OP, ON) est — cos 6, 

 puisque la direction OP est alors opposée à celle de OA et par 

 conséquent OP cos {OP, ON) = — cos a X — cos b, ou encore 

 cos a cos b. 



De même PM est sin a ou — sin a. Si PJ/ est sin a, l'angle 

 de PJ/ avec ON est le même que celui de la direction OB avec 



ON on'^-\-b et PJ/ cos (PJ/, OyV) = sin a cos ( ^ -f- 6 ) ; mais 



si PJ/ est — sin a, la direction PM étant opposée à celle de 

 OD, on a : 



cos {PM, ON] = — cos {OB, ON] = — cos ( ^-f- ^ j 

 et le produit est 



— sin a X — cos ( ^ 4- ^ ) o^ encore sin a cos [ ^ -|- ^ ) • 

 Donc on a, quels que soient les arcs a et b : 



cos {a-\-b) = cos a cos b -j- siu a cos f - -f- ^ ) ; 



mais on a vu au § 9 que cos ( - -f- M est toujours égal à 

 — sin b, quel que soit l'arc b. On a donc enfin : 

 (5) cos [a -^b) = cos a cos 6 — sin a sin b. 



18. Calcul de sin (a-\- b) — La formule (5) étant générale, 

 on peut y remplacer a par a -|- ^ et elle devient : 



ces 



i--{-a-\-bJ=cos(-^-\-a\cosb — sin ( ô + « ) sin b 



