I Afhandlingens ? 2 hehandler jeg forst Kurverne af anden Orden. Det er af 
flere Grunde nødvendigt først at have disses Theori sikkret, særlig for at faa fast Grund 
under Fodderne ved Bestemmelsen af den elementere Bue. 
Ved Beviserne for de almindelige men simple Setninger i 23 er man paa et Om- 
raade, hvor det ovennevnte Korrespondanceprincip ikke direkte kan anvendes. Methoden 
er dog for saavidt den samme, som de betragtede Korrespondenser mellem Kurvepunkt og 
dettes Tangentialpunkt ved tilberlig Begrænsning af Omraadet gjores éntydige. 
De sidste Sætninger i dette Afsnit ere de bekjendte om Kurver af lige og ulige 
Orden. Mest Interesse har vel her Beviserne for Zeuthens Sætning om Kurver, som be- 
grense, eller ikke begrense, en Del af Planen. 
Den neste 2 4 behandler Kurverne af tredie Orden, der med de udviklede Hjælpe- 
midler ere lette at beherske. Interessant og karakteristisk for grafiske Kurver i Modset- 
ning til algebraiske er det, at en fuldstendig kontinuert Kurve, der har 3 Vendetangenter 
og ingen andre Singulariteter, nødvendigvis er af tredie Orden. Forst ved denne Sætning 
faar forovrigt Theorien for disse Kurver en relativ Afslutning, thi forst den giver en fuld- 
stendig Beskrivelse af Kurven. Jeg slutter med Bestemmelsen af de Kurver af 3die Orden, 
der have fremspringende Punkter. Dels ere de, saa vidt jeg ved, ikke for karakteriserede, 
dels er det nodvendigt at have disse Former til sin Raadighed, naar Typerne for Kurverne 
af fjerde Orden skulle opstilles. 
Det sidste og storste Afsnit behandler Kurverne af fjerde Orden. Interesse vil denne 
Undersogelse ogsaa have for de algebraiske Kurvers Theori, da der, saa vidt jeg ved, ikke 
noget Steds findes en klassificerende Bestemmelse af alle mulige Former for den enkelte 
Gren af en Fjerdegradskurve; at hver enkelt Form vil kunne findes mange Steder, er jo 
en anden Sag. Kun de Kurver, der have tre Dobbeltpunkter, ere fuldt oplyste fra Formens 
Side, jfr. en Afhandling af A. Brill, Uber rationale Curven vierter Ordnung (mit zwei lith. 
Tafeln), Math. Annalen Bd. 12, S. 90. 
Opgaven er her for saa vidt en anden og snevrere end i Leren om de alge- 
braiske Kurver, som man paa dette Sted ret naturligt — af de i Afh. nævnte Grunde — 
indskrenker sig til Kurver med en enkelt Gren; en Udvidelse heraf maatte i hvert Fald 
kræve serlige nye Begrænsninger. Paa den anden Side viser Afvigelsen fra de algebraiske 
Kurver sig deri, at her kan Antallet af Dobbelttangenter, Vendetangenter og Dobbeltpunkter 
hver for sig vokse over alle Grenser. Saa meget desto naturligere har det veret at soge 
en Relation mellem disse Tal. En saadan, der er aldeles almengyldig, eksisterer nu ganske 
vist ikke, men folgende Setning nermer sig sterkt dertil: «En Kurve af fjerde 
Orden behover ikke at have Dobbelttangenter, men har den saadanne, 
vil disses Antal vere lig med Antallet af Dobbeltpunkter foroget med 
det halve Antal af Infleksionspunkter». 
