11 
Lad os nu udtrykkelig antage, at de to Punktrekker ligge paa samme rette Linie, 
og endvidere, at tilsvarende Lob ere modsatte. Naar da X gjennemlober hele Linien én 
Gang fra en Begyndelsesstilling A tilbage til A, maa Y ogsaa have gjennemlobet Linien 
netop én Gang — ellers vilde Afhengigheden ikke overalt vere éntydig. Punktet X maa 
derfor have truffet sit tilsvarende Punkt Y netop to Gange 9: 
I en kontinuert og gjensidig éntydig Punktafhengighed paa en 
ret Linie, hvor tilsvarende Lob ere modsatte, vil der findes netop to 
Punkter, der svare til sig selv. 
Lobe tilsvarende Punkter samme Vej, kan Antallet af Fællespunkter blive saa stort, 
det skal vere. Man kan dog sige, at Antallet af Fællespunkter i hvert Fald er lige, naar 
man blot erindrer at regne et saadant Sammenfald to Gange med, hvor X falder sammen 
med Y, men ogsaa efter Sammenfaldet holder sig paa samme Side af det tilsvarende Punkt. 
Lad os nu antage, at der paa en ret Linie findes en kontinuert Afhængighed mel- 
lem Punkter X og Punkter Y, saaledes at der til hvert Y svarer ét Punkt X, men til 
hvert X n Punkter Y: Y!, Y?,....Y*. Lad os tillige forudsætte, at to sammenhørende 
Punkter Y, d.v.s. Punkter, der svare til samme X, ingensinde falde sammen. Af disse 
Forudsætninger følger allerede, at der til et bestemt Lob af X svarer et bestemt Løb af Y, 
men vi ville yderligere antage, at disse tilsvarende Lob ere modsatte og sporge da om 
Antallet af Fellespunkter. Da der under vore Forudsetninger i hvert Fald maa vere mindst 
ét Fellespunkt, kunne vi gaa ud fra, at Punktet X gjennemlober hele Linien én Gang ud 
fra et Fællespunkt X, — Y,!. De øvrige til X, hørende Punkter vere Y,?, Yÿ.... Yy, 
hvor Betegnelserne ere valgte saaledes, at X under sin Bevægelse først kommer til Y®, 
dernæst til Y,2 o.s.v. Naar X atter er falden i X,, vil den tilsvarende Gruppe Y dække 
sig selv, men deraf folger ikke, at hvert Punkt Y for sig — man kan jo folge Bevegelsen 
af hvert enkelt saadant Punkt — atter vil falde i sin oprindelige Stilling. Man kan end- 
ogsaa let se, at dette ikke er muligt; da nemlig to sammenhorende Punkter Y ikke kunne 
falde sammen, maa Folgeordenen i hvert Fald være den samme, som for, saa at hvert 
Punkt Y maa falde i sin oprindelige Stilling, naar ét Punkt gjør det. Men naar Y!Y?.. 
skulde falde i Y,! Y2.., maatte hvert af disse Punkter under X's hele Bevægelse have 
gjennemløbet hele Linien en eller flere Gange, og altsaa hvert enkelt for sig have over- 
skredet et fast vilkaarligt Punkt M af Linien mindst en Gang. Men til Punktet Y= M 
maatte der da svare mindst n Punkter X mod Forudsætningen. Man kan derimod vise, 
at Y,! netop maa falde i Y/. Hvis nemlig Y;,' faldt f. Ex. i Yo‘, saa vilde Yo falde i 
Yo”, og naar X nu gjennemløber hele Linien i Retningen YY? YØ..., saa vil derved 
baade Punktet Y! og Punktet Y” have gjennemlobet Liniestykket Yy Yo (det, der ikke 
indeholder de andre sammenhørende Punkter Y), saa at der til hvert Punkt af dette Stykke 
kom til at svare to Punkter X mod Forudsætningen. Den Ombytning mellem Y's Punkter, 
9% 
(2) 
