13 
Hertil kan fojes folgende Bemerkninger: 
1) Naar det forlanges, at et Punkt Y stadig skal bevege sig i samme Retning og 
i modsat Retning af X, forhindrer dette ikke, at Hastigheden et Steds kan vere uendelig 
lille, d.v.s. at et Punkt Y kan ligge stille, medens det tilsvarende Punkt beveger sig et 
endeligt Stykke. 
2) Den Betingelse, at to sammenhorende Punkter Y ikke maa falde sammen, er ikke 
i alle Tilfælde ubetinget nødvendig. Vi ville her nøjes med at bevise, at Sætningen bevarer 
sin Gyldighed, naar to sammenhørende Punkter Y i et Punkt A— X, = Y,! = Y,? falder 
sammen med et tilsvarende Punkt X. I saa Fald vil der nemlig for det forste ogsaa i A 
falde ét Punkt Y sammen med to tilsvarende Punkter X. Denne Paastand er ikke gyldig 
for enhver Korrespondens, men den gjælder her, hvor tilsvarende Punkter X og Y bevege 
sig i modsatte Retninger. Velge vi nemlig et Punkt B—Y meget ner ved A og f. Eks. 
tilvenstre for A, og lade vi X bevæge sig ud fra A tilhojre, ville de to tilsvarende Punkter 
Y, der oprindelig befandt sig i A, bevege sig tilvenstre, og de maa altsaa begge over- 
skride B, medens X endnu er i Nærheden af A >: til Punktet B = Y svarer to Punkter 
X, der konvergere med À, naar B gjør det. 
Lad der nu til Punktet A= X) =Y) = Y foruden A svare p — 2 Punkter Y 
og g— 2 Punkter X, og lad et Punkt X bevæge sig én Gang langs Linien fra A tilbage 
til A. Et Raisonnement, der i intet vesentligt er forskjelligt fra det forrige, vil da vise, 
at Antallet af Sammenfaldspunkter udenfor A er 
ZA tl GAY DE fo Rasen mt pet 
Sætningen vedbliver altsaa at gjælde, naar A regnes to Gange med. 
Det er væsentlig denne grafiske Korrespondensformel — en Sætning, der forøvrigt 
er af kombinatorisk og ikke af algebraisk Karakter — vi i det folgende ville bruge paa 
lukkede Kurver. En saadan kan nemlig altid gjensidig éntydig og kontinuerlig afbildes paa 
en Cirkels Periferi og derigjennem (f. Ex. ved stereografisk Projektion) paa en ret Linie. 
Dette er klart, naar Kurven ligger helt i det endelige, da der i saa Fald maa findes en 
Cirkel med samme Omkreds, og efter at man har valgt et Punkt A paa Kurven og et 
Punkt A, paa Cirklen, kan man lade M og JM, svare til hinanden, naar VAM — 
eA 
Det samme er Tilfældet, selv om Kurven indeholder Buer, der gaa i det uendelige, 
thi hver af disse behøver man blot ved en bestemt men forøvrigt selvvalgt Projektion at 
reducere til en endelig. Ad denne Vej ses det f. Ex. tydeligt, at et Dobbeltpunkt skal 
regnes for to forskjellige Punkter, eftersom det henregnes til den ene eller den anden af 
de derigjennem gaaende Buer. Ligeledes ses det, at et vilkaarligt System af Kurver altid 
