(1) 
gjensidigt entydig og kontinuerlig kan afbildes paa et andet, saafremt blot Antallet af 
Kurver er det samme i begge Systemer. Noget andet direkte Analogon til 
Slegtssetningen existerer altsaa ikke for grafiske Kurver. 
22 
rr 
Kurven af anden Orden; den elementære Bue. 
Vi ville nu gaa over til Kurverne og begynde med Kurven af anden Orden G? 
d.v.s. en lukket kontinuert Kurve, der af en vilkaarlig ret Linie højst skjæres i to Punkter. 
En Tangent skærer i to paa hinanden følgende Punkter og kan da ikke yderligere skære 
Kurven. Naar et Punkt M ud fra en Begyndelsesstilling A gjennemløber Kurven tilbage: 
til A, maa Linien AM derfor stadig bevege sig i samme Retning ud fra Tangenten a i A 
og tilbage til samme Tangent. Enhver ret Linie, der skærer en G? i et Punkt, maa derfor 
skere i endnu et. 
Drejer man en Tangent a om et af sine Punkter (dog ikke Roringspunktet À) til 
én Side, saa faas en Linie, der ikke skærer Kurven; drejer man derimod til den anden 
Side, saa optrede adskilte Skeringspunkter, der i hvert Fald til at begynde med bevege 
sig i modsatte Retninger paa Kurven'). Det samme er Tilfældet, naar en bevægelig ret 
Linie p, der i en af sine Stillinger berører @*, i Stedet for at dreje sig om et fast Punkt 
ruller videre paa en anden Kurve af anden Orden G,*, thi denne Bevægelse er i det første 
Øjeblik intet andet end en lille Drejning om et Punkt (Roringspunktet med G). 
Forbindes alle Kurvens Punkter med to faste Punkter A og B af Kurven, faas to 
gjensidig éntydigt forbundne Liniebundter. Den foregaaende Setning (1) i 21 giver da: 
Af en Kurve af anden Orden kunne ikke flere end 5 Punkter vælges 
aldeles vilkaarligt. (Dette gjælder f. Ex. om Perimetren af en konvex Polygon.) 
Kurven er natuligvis forst bestemt ved alle sine Punkter. 
Sætningen kan ikke vendes om, idet to entydigt og kontinuerligt sammenparrede 
Liniebundter kunne frembringe en Kurve af vilkaarlig hoj (lige) Orden. En saadan Kurve 
vil dog skeres i to og kun to Punkter af enhver ret Linie, som skærer enten det ene 
eller det andet af de to Liniestykker, der bestemmes ved Liniebundternes Centrer. 
Kurven af anden Orden er ogsaa af anden Klasse d.v.s. gjennem et 
vilkaarligt Punkt P af Planen gaar højst to Tangenter til Kurven. Forbindes nemlig P 
med et vilkaarligt Punkt X af G?, vil Linien endnu skære Kurven i et Punkt Y, og For- 
bindelsen mellem Punkterne X og Punkterne Y er gjensidig entydig. I Fald der nu 
1) Denne og de ovrige her folgende Sætninger have ikke aksiomatisk Karakter, naar man erindrer at 
8 5 5 : 
opfatte Kurven @? som en overalt konveks Polygon. 
