der stode sammen i en Spids af anden Art. P og M kunne endvidere kun falde sammen 
i et af de her nævnte Punkter. 
Paa alle disse Sætninger kan man anvende Dualitetsprincipet. Anvendes dette, 
bevare Punkterne 1) og 4) deres Karakter, medens 2) og 3) ombyttes. 
Ruller en Tangent m paa en Kurve, idet Roringspunktet M beveger sig i samme 
Retning, vil et af Skeringspunkterne P med en anden Kurve — eventuelt selve Kurven — 
stadig kunne holdes adskilt fra de andre Skeringspunkter, indtil m gaar gjennem en Spids, 
eller indtil m bliver en felles Tangent — eventuelt en Dobbelttangent — i hvilket Tilfælde 
to sammenhorende Punkter P rykke sammen i modsatte Retninger og derefter forsvinde. 
Saalenge man kan fastholde et enkelt Punkt P, bevarer dette sin Omlobsretning uforandret, 
indtil M overskrider et Infleksionspunkt eller et Skeringspunkt med den anden Kurve — 
eventuelt et Dobbeltpunkt paa selve M’s Kurve; kun paa denne Maade kan P's Bevægelsès- 
retning skifte, medens M's Retning bevares. 
I denne Afhandling betragtes næsten udelukkende kun Afhængigheder mellem et 
Kurvepunkt M og dettes Tangentialpunkter P,P,... Her gjælder det som en Hovedregel, 
at et Punkt M og et tilsvarende Punkt P udelukkende kun da kunne falde sammen, naar 
disse kort inden Sammenfaldet bevæge sig i modsatte Retninger paa Kurven. Det samme 
gjælder om to Tangentialpunkter svarende til samme Røringspunkt. 
Endelig følger det af ovenstaaende, at et Punkt, der løber ikke i, men langs med 
en lukket fuldstændig kontinuert Kurve og stadig nær ved denne, men uden at skære den, 
ved Røringspunktet for en Vendetangent 1) og 4), og kun der, vil gaa over fra en Bues 
positive til dens negative Side. 
Til en Kurves Singulariteter henregne vi foruden Vendetangenter og Spidser tillige 
de Punkter, hvorigjennem Kurven gaar flere end én Gang (Dobbeltpunkter), og de Tangenter, 
der berøre flere end én Gang (Dobbelttangenter). En Bue uden Singulariteter kan dog 
godt gaa én Gang gjennem et Dobbeltpunkt og gjennem det ene Roringspunkt af en 
Dobbelttangent til den Kurve, hvoraf Buen er en Del. 
Enhver Kurve, vi betragte, er sammensat af elementære Buer, og vi ville nu først 
fremsætte nogle Sætninger om saadanne. 
En kontinuert Bue uden Singulariteter, der ikke af nogen ret 
Linie skæres i flere end to Punkter, maa være en elementær Bue. 
Forbindes nemlig et fast Punkt P af Buen med et bevægeligt M, der løber i en 
bestemt Retning fra Buens ene Endepunkt A til det andet 3, vil Linien PM paa Grund 
af den gjensidige entydigede Afhængighed mellem Punkt M og Straale PM stadig dreje 
sig i samme Retning. Af de to Stykker, hvori den rette Linie AD deles af A og B, vil 
altsaa det ene (AB), skæres af Linien PM, medens det andet (AB), slet ikke skæres af 
disse. Da en Linie MP ligesaavel kan tænkes udgaaende fra M som fra P, vil den for- 
(5) 
