8 
en Tangent gjennem B, og hvis de gik samme Vej (altsaa begge i Retningen fra A til B), 
vilde Tangenten i B skære Kurven paany. Efter den foregaaende Sætning er altsaa Buen 
elementer. 
Dualitetsprincipet giver, at en Bue uden Singulariteter, til hvilken der 
ikke gaar nogen Tangent fra Buens Endepunkter, maa vere elementer. 
Men man kan for at afgjore, om en Bue uden Singulariteter er elementer, ogsaa 
nojes med alene at betragte Forholdene ved Buens ene Endepunkt, idet man har Sætningen: 
En fuldstændig kontinuert Bue AB uden Singulariteter, der ikke 
skæres af Tangenteni 4, og til hvilken der ikke gaar nogen Tangent ud 
fra A, maa vere elementer. 
Det kommer kun an paa at bevise, at Tangenten i B heller ikke skerer Buen. 
Antager man nemlig, at der findes et eller flere saadanne Skæringspunkter, og lader man 
et Punkt M gjennemlobe Buen ud fra B, vil Tangenten m i M skere Kurven i hvert Fald 
i ét Punkt P, der eksisterer, naar M ligger ner ved B. Under M's Bevægelse kan det 
betragtede Punkt P ikke forsvinde uden ved at gaa gjennem A eller B, og saalenge det 
forefindes, kan dets Bevegelsesretning ikke skifte, naar M’s Retning bevares. Punktet P 
kan nu ikke bevege sig i modsat Retning af M, thi P kan her kun forsvinde ved at over- 
skride B, og det kan ikke naa B uden at overskride M, men M kan det ikke overskride 
uden at give Buen en Singularitet. Beveger P sig derimod i samme Retning som M, kan 
det ikke forsvinde inden det naar A, og M, der ikke kan have overskredet P, vil, naar 
P falder i A, vere Roringspunktet for en fra A udgaaende Tangent, hvilket er mod 
Forudsetningen. Buen er altsaa efter det foregaaende en elementer Bue. 
Vi kunne nu besvare et Spørgsmaal, som i det her benyttede System er væsentligt. 
Efter vore Forudsetninger skal jo enhver Kurve sammensettes af elementære Buer. Lad 
nu A vere et vilkaarligt Punkt paa Kurven, og lad der vere valgt en bestemt Omlobs- 
retning paa denne; man kan da spørge om, hvor langt en fra Ai den valgte Ret- 
ning udgaaende Bue kan forlenges uden at ophore med at vere elementer. 
En Bue AM kan i hvert Fald ikke vere elementær, naar Tangenten a i A skærer den, og 
lige saa lidt, naar der gaar en Tangent til den ud fra A. Men naar et Punkt M ud fra 
A gjennemlober Buen og ikke overskrider nogen Spids eller noget Infleksionspunkt og 
ligesaa lidt noget Dobbeltpunkt to Gange, eller begge Roringspunkterne for en Dobbelt- 
tangent, og Linien AM den forste Gang, den er bleven Tangent i M, endnu ikke har 
overskredet a vil denne Bue AM vere elementer efter det foregaaende og tillige saa 
udvidet som muligt. Det samme gjælder om Buen AM, naar Linien AM forste Gang har 
naaet Stillingen a uden under Vejs at have været Tangent til den gjennemlobne Bue. I 
Fald der paa den herved bestemte Bue findes Spidser og Infleksionspunkter, ender den 
største fra A udgaaende Bue i det første saadanne Punkt, der naas i den valgte Retning. 
(8) 
