Nogle almindelige Sætninger om grafiske Kurver. 
Vi kunne nu bevise et Par Setninger af almindeligere Beskaffenhed og tage forst: 
En lukket fuldstendig kontinuert Kurve uden Vendetangenter eller 
Spidser og uden Dobbelttangenter eller Dobbeltpunkter maa vere af 
anden Orden!). 
Paastanden er selvfolgelig, naar den fra et Kurvepunkt i en bestemt Retning 
udgaaende storste elementære Bue atter ender i A — eller rettere i et Nabopunkt til A. 
I modsat Fald vil Maksimumsbuen gaa fra et Punkt A til et fra A forskjelligt 
Kurvepunkt B, og Tangenten i det ene Endepunkt vil her, hvor der ingen singulere 
Punkter findes, gaa gjennem det andet Endepunkt — lad os antage, at Tangenten bi B 
gaar gjennem A. Denne Bue AB vil da i Forbindelse med et bestemt Liniestykke (AB), 
danne en kontinuert (men almindeligvis ikke fuldstændig kontinuert) Kurve J’ af anden 
Orden (se Fig.3). En saadan deler Planen i to fuldstendig adskilte Omraader; vi ville 
vise, at Fortsettelsen af Buen 
AB dels udover A og dels 
udover B nødvendigvis maa 
føre ind i forskjellige Omraader. 
Betragtes nemlig et nær ved 
B liggende Punkt M af Buen 
AB, vil Tangenten m i M 
skære Kurven (foruden muligvis 
andre Steder) i hvert Fald i et 
Punkt N,, der ligger nær ved 
A. Men N, kan ikke ligge 
paa den nævnte elementære 
Bue; derfor vil N, og Fort- 
sættelsen AN, ... af denne Bue 
udover A ligge udenfor J’ (se 
Definitionen Side 15). Endvidere 
vil m, ikke skære Stykket (AB), men (AB), ifølge dette Stykkes Definition; naar altsaa et 
Punkt M bevæger sig paa Kurven udover den elementære Bue ved at passere B, vil Skærings- 
Fig. 3, 
punktet. S mellem Tangenten m i M og Linien AB, hvis Bevægelsesretning ikke skifter 
1) Denne Sætning kan ikke betragtes som såa selvfølgelig, som man maaske ved første Øjekast vilde 
tro. Paa Grund af den store Mængde Muligheder, hvorefter Kurven kan indeholde spiralformede 
Buer, kan et Bevis paa ingen Maade anses som en blot systematisk Pynt. 
