25 
derved, at Punktet M passerer B, nu befinde sig paa Stykket (AD),. Vælges M tilstrek- 
kelig ner ved B, ville M og S ligge saa ner ved hinanden, at der heller ikke fra A7 
kan udgaa nogen Tangent, der bererer i endelig Afstand fra B, og ingen Tangent, der 
udgaar fra M, kan berore i et Nabopunkt til B, da B er et sædvanligt Kurvepunkt. Men 
endvidere kan MA ikke vere uegentlig Tangent til Z’i A, thi da en saadan Linie foruden 
i M endnu maatte skære Kurven i et andet ved B nærliggende Punkt M,, vilde ogsaa M,B 
være en uegentlig Tangent i B, hvilket er umuligt, da M, ligger paa selve Linien /! MB kan 
ikke være uegentlig Tangent i B, da der fra M maa udgaa 0 eller 2 (egentlige og uegent- 
lige) Tangenter til 7. Men af dette følger, at M ligger indeni 7: Da nu Kurven skal 
være lukket og uden Dobbeltpunkter, maa den nødvendigvis have mindst et Punkt C fælles 
med (A B),, fordi den skal gaa fra M indeni 7" til N, udenfor samme. 
Bevæger nu et Punkt M sig paa Kurven, men ikke ad deu elementære Bue, fra B til C, 
vil Tangenten m i M, saalænge M er i Nærheden af B, nødvendigvis skære den Del af 
Kurven, der er nær ved C, i et Punkt P, om hvilket man kan bevise, at det ligger indeni 
I. Man skal altsaa vise, at der fra P ikke udgaar nogen Tangent — egentlig eller uegentlig 
— til 7. Fra P kan der nu for det første ikke udgaa nogen egentlig Tangent til den 
elementære Bue AB, der berører i en endelig Afstand fra A eller 2, thi i saa Fald vilde der 
ogsaa fra C udgaa en saadan Tangent, medens dog C er et Punkt af /! Et ved B ner- 
liggende Røringspunkt mellem /' og en Tangent fra P kan ikke eksistere, da den Tangent, 
der berører Kurven nær ved B, har et Roringspunkt M, der ikke ligger paa /% og ligesaa 
lidt kan der findes et ved A nærliggende Røringspunkt, da Tangenten i A danner en 
endelig Vinkel med Linien AC og AP. Endvidere er PB ingen uegentlig Tangent, thi 
dennes Nabolinie PM skærer /'i Nærheden af 3 i ét og kun ét Punkt S. Linien PA 
kan endelig ikke vere uegentlig Tangent, da man ved at overskride /'i C nødvendigvis 
maa have tabt to eller vundet to Tangenter. 
Til at begynde med løbe altsaa M og Pi modsatte Retninger paa den Bue BC, 
der ikke indeholder nogen Del af 7: Men da Kurven ikke har Singulariteter, kan Punktet 
P ikke forsvinde, idet M bevæger sig, og ligesaa lidt kan P's Bevægelsesretning skifte, 
medens M's Retning bevares. Derfor maa M og P nødvendigvis en Gang støde sammen, 
hvilket strider imod, at Kurven hverken har Vendetangenter eller -Spidser. 
Der findes ingen lukket fuldstændig kontinuert Kurve, der af 
Singulariteter alene har en enkelt Vendetangent eller en enkelt Spids, 
eller en enkelt Dobbelttangent eller et enkelt Dobbeltpunkt. 
Vi nøjes med at bevise Sætningens første Del, idet de øvrige Dele kunne bevises 
paa aldeles lignende Maade. Lad Vendetangenten vere a med Røringspunktet A. Tan- 
genten m i Punktet M, der ligger nær ved A, skærer Kurven i et ved A nærliggende 
Punkt P, der vil bevæge sig i modsat Retning af M. Desuden kan m skære i flere 
D. K. D. Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. X. 1. 4 
