(3) 
26 
Punkter, der kunne bevæge sig i samme eller i modsat Retning af M. Naar nu M gjennem- 
laber hele Kurven ud fra A og tilbage til A, vil P stadig kunne fastholdes som forskjellig 
fra de andre Skæringspunkter mellem m og Kurven, og endvidere vil P under den givne 
Forudsætning stadig bevare sin Retning, naar M gjor det. Men i saa Fald maa M og P 
nødvendigvis en Gang vere falden sammen, inden M er vendt tilbage til A, d.v.s. Kurven 
maa have flere Singulariteter end én Vendetangent. i 
Vi have i det foregaaende vist, at der ikke eksisterer Kurver med kun en enkelt 
af de betragtede Singulariteter (og ingen andre). Man ser paa samme Maade som i det 
sidste Bevis, at det samme ogsaa er Tilfældet, naar det ene singulære Punkt er en Spids 
af anden Art. 
Vi ville ved en lukket kontinuert Kurves Orden x forstaa det højeste Antal af 
Skæringspunkter, den kan have med en vilkaarlig ret Linie. Kurvens Klasse n’ defineres 
paa lignende Maade. Antallet af Vendetangenter (heri medregnet Tangenterne i eventuelle 
Spidser af anden Art) benævnes €, og Antallet af Spidser (eventuelt af begge Arter) med e. 
Da efter Bemærkningerne Side 20 Skæringspunkter mellem en af vore Kurver og en 
bevægelig ret Linie tabes eller vindes parvis, ser man for det første, at enhver ret Linie 
maa skære en given Kurve enten stadig i et lige eller sladig i et ulige 
Antal Punkter. 
Det tilsvarende gjælder om Tangenter udgaaende fra et Punkt. 
Nyttig særlig for Øjet til hurtig Afgjorelse af en i Tegning forelagt Kurves Orden 
er følgende Hjælpesætning: 
Naar ingen Tangent til en lukket kontinuert Kurve skærer denne 
i flere end » Punkter udenfor Røringspunktet, vil ingen ret Linie kunne 
skære i flere end n + 2 Punkter. 
Naar nemlig en ret Linie / skærer Kurven, maa man sikkert paa / kunne finde et 
Punkt Q, hvorfra der udgaar Tangenter til Kurven; lad disse vere ¢,, &, ... med Rørings- 
punkter i 7,, 7, ... Linien 7, skærer foruden i 7, højst i n Punkter. Drejer man 
Linien t, om Qi en bestemt Retning, kan der optræde to nye Skæringspunkter, der oprindelig 
vare forenede i 7,, og Linien skærer da i » + 2 Punkter. Den næste Ændring i Skæ- 
ringspunkternes Antal kan først ske derved, at den bevægelige Linie næste Gang bliver 
Tangent ved f. Ex. at falde i £,. Men ved Fortsættelse af Drejningen i samme Retning 
kan der ikke herved paany vindes to Skæringspunkter, thi da ingen af de Skæringspunkter, 
der ikke ligge uendelig nær ved 7,, herved kunne tabes, vilde ¢, i saa Fald foruden i 7, 
skære i x + 2 Punkter. 
Herved er der ikke taget Hensyn til, at Kurven kunde have Spidser. For at Sæt- 
ningen skal være almengyldig, maa man paa dette Sted opfatte enhver gjennem en 
Spids gaaende ret Linie som en Tangent, hvorefter Beviset er gyldigt. Det gjælder 
