29 
a) Betragtes en vilkaarlig kontinuert Vej », der fører fra P til Q, vil denne i 
Forbindelse med Liniestykket PQ danne en lukket Linie, der altsaa skærer G i et lige 
Antal Punkter; da imidlertid et ulige Antal af disse ligge paa Liniestykket, maa der ligge 
mindst ét paa x. Man kunde naturligvis ogsaa have begyndt med at antage, at y skærer 
i et ulige Antal Punkter, hvorefter ogsaa PQ maatte gjore det. 
b) Lad Linien PQ's Skeringspunkter med G vere A, B...K.., hvor Beteg- 
nelserne ere valgte saaledes, at man langs Linien og uden at skere Kurven kan komme 
fra A til P og fra K til Q; Stykket AQ antages tillige endelig, hvilket altid kan opnaas. 
Vi kunne da lade et Punkt M bevege sig langs den rette Linie, og uden at skere Kurven 
fra P til et Punkt A,, der ligger ner ved A; og derfra langs Kurven (i en selvvalgt Ret- 
ning) uden at skere denne, men stadig meget ner ved den, til et Punkt A, af Linien 
PQ i Nærheden af K. Hvis nu K, og Q ikke paa det endelige Liniestykke A,Q ere 
skilte ved A, have vi konstrueret en Vej »: PA, ... A,Q, der uden Skæring med Kurven 
føres fra P til Q, og dette maa altid vere Tilfældet. Hvis nemlig X, og @ vare skilte 
paa det retliniede endelige Stykke ved A, vilde man ad samme Vej vere kommen fra P til 
Q saaledes at Kurven kun var overskredet I Gang, og dette er umuligt ifølge a). 
Om lukkede Kurver af ulige Orden har man: 
En lukket Kurve af ulige Orden uden Dobbeltpunkter begrænser ikke 
nogen Del af Planen. 
Vi skulle altsaa bevise, at man altid ad en kontinuert Vej kan komme fra et 
Punkt P til et vilkaarligt andet Punkt Q uden at overskride Kurven. Lad Linien PQ 
skære iA, B...K..., hvor Betegnelserne ere valgte som ovenfor. Lad os endvidere 
danne samme Vej a: PA, ... K,Q som for. Paastanden er da godtgjort, saafremt K, 
ligger paa det endelige Liniestykke AQ. Hvis dette ikke er Tilfældet, vil det blive det 
derved, at vi lade M lobe langs Kurven i modsat Retning af for; thi det Punkt K,, vi 
derved faar i Stedet for K,, vil ligge paa den anden Side af den gjennem A gaaende Bue 
end K,. Kurven har nemlig et ulige Antal Vendepunkter og ved at lobe forbi et saadant 
gaar M over fra en Bues positive til dens negative Side (eller omvendt). Naar nu det ene 
Kurvestykke A indeholder et lige Antal Vendepunkter, vil det andet indeholde et ulige 
Antal, og herved er Sætningen aabenbart bevist. 
2 4. 
Kurven af tredie Orden. 
Vi ville nu gaa over til Kurven af tredie Orden uden Dobbeltpunkter eller Spidser; 
en saadan maa have mindst en Vendetangent. Ingen Vendetangent kan yderligere skære 
Kurven, thi drejede man Vendetangenten en lille Vinkel, fik man i saa Fald en Linie, der 
(9) 
