31 
Kurven, vere positivt. Men dette vedbliver at gjelde, ogsaa naar Siden B,C, drejes til- 
bage til sin oprindelige Stilling BC, thi Forandring i en Faktors Fortegn kan kun ske ved, 
at en af Vinkelspidserne ved Drejningen overskrider Kurven, men derved skifter tillige en 
og kun en af de andre Faktorer sit Fortegn. Dette forandres tilmed ikke derved, at to af 
Skeringspunkterne mellem Kurven og den bevægelige Linie rykke sammen i et Rorings- 
punkt og derefter forsvinde, d. v. s. man har: Produktet af de Forhold, hvori 
Siderne i en Trekant (eller en vilkaarlig Polygon) deles ved Skerings- 
punkterne med en vilkaarlig lukket grafisk Kurve er positivt. 
Heraf folger specielt, at de tre Vendepunkter paa en Kurve af tredie Orden enten 
alle ligge paa Forlængelsen af Siderne i den af Vendetangenterne dannede Trekant eller 
kun det ene paa en Forlængelse, medens de to andre ligge paa selve Siderne. Naturligvis 
er der intet i Vejen for, at de tre Vendetangenter ogsaa kunne gaa gjennem samme Punkt. 
Man vil nu have et ret fuldstendigt Overblik over de mulige Former af grafiske 
Kurver af tredie Orden uden Dobbeltpunkt; det er i saa Henseende i Virkeligheden til- 
strækkeligt at henvise til Formerne af de algebraiske Kurver'). 
Vi ville nu betragte Kurven af tredie Orden med Dobbeltpunkt. Det ses straks, 
at Kurven ikke kan have flere end et saadant. Lader man her et Punkt M lobe langs 
Kurven i en bestemt Retning ud fra Dobbeltpunktet O og tilbage til O, vil det have 
gjennemlebet en Del G, af Kurven; fortsættes Bevægelsen i samme Retning, til M paany 
falder i ©, vil det have gjennemlobet en anden Del G,, og hele Kurven vil repræsenteres 
ved G, + G, (d.v.s. Samlingen af de to Dele eller Grene). Af disse to Grene vil den 
ene skere en vilkaarlig ikke gjennem © gaaende ret Linie i et lige Antal, den anden i et 
ulige Antal Punkter. Den ene Gren, lad os sige @,, skæres altsaa af enhver ret Linie i 
et lige Antal Punkter og højst i to; den maa derfor vere af anden Orden, og vi ville 
kalde den Slojfen; den anden Del G, kalde vi den ulige Gren. Hver Gren for sig 
fremstiller en lukket kontinuert Kurve. Et Infleksionspunkt maa i hvert Fald ligge paa den 
ulige Gren, thi G, er af anden Orden. Man ser nu som ovenfor ved Kurven uden Dobbelt- 
punkt, at der gjennem hvert Punkt M af Kurven maa gaa 2 eller 0 Tangenter (der rore 
udenfor M). Dette kan præciseres saaledes, at der gjennem et vilkaarligt Punkt af Slojfen 
ikke udgaar nogen Tangent (en saadan vilde skere G, + G, i fire Punkter), medens der 
udgaar to Tangenter fra hvert Punkt M af den ulige Gren. Velger man nemlig M ner 
ved Dobbeltpunktet, findes i hvert Fald en Tangent (og altsaa to), og ved at forskyde M 
langs G, kan ingen fra // udgaaende Tangent tabes. Af de to Tangenter vil én og kun 
en berøre Slojfen. Dette ses nemlig straks, naar M vælges i umiddelbar Nerhed af O 
(thi intet Punkt af G, kan aabenbart ligge indeni @,), og dette Forhold kan ikke for- 
1) Se særlig Prof. Zeuthens Afhandling: Om Udseendet af Kurver af tredje og fjerde Orden, Tidskrift 
f. Mathem. 1873. S. 97. 
