(4) 
32 
andres ved, at M fiytter sig paa @,, thi derved vil man hverken overskride @, eller nogen 
af de Tangenter til @,, der berøre i O. Forbindelsen mellem Roringspunktet A for en 
Tangent til G, og Skæringspunktel Y mellem denne Tangent og Kurven er altsaa gjen- 
sidig éntydig paa hele G,; der maa derfor efter Korrespondancesætningen finde to Sammen- 
fald Sted, thi X og Y bevæge sig i modsatte Retninger, hvilket ligeledes ses ved at vælge 
X ner ved Dobbeltpunktet. Men da et Sammenfald finder Sted i © — hvilket Punkt giver 
Anledning til et virkeligt Sammenfald mellem X og Y paa G,, men ikke paa G, + G, — haves: 
En Kurve af tredie Orden med Dobbeltpunkt har én og kun én 
Vendetangent. 
Man ser tillige af Beviset, at det samme vil gjelde, naar Kurven har en Spids, 
der nodvendigvis maa vere af Iste Art. 
Om Kurver af tredie Orden kan man ved Korrespondancesetningen bevise adskillige 
specielle Sætninger; saaledes: 
I en Kurve af tredie Orden kan man altid indskrive to og kun to lukkede Poly- 
goner, hvis Sider gaa gjennem hver sit givne Kurvepunkt, saafremt Sidernes Antal er ulige. 
Endvidere : 
Kaldes to Punkter paa en G? for konjugerede, naar de have samme Tangential- 
punkt, vil Forbindelseslinien mellem konjugerede Punkter indhylle en Kurve, til hvilken 
der fra ethvert Punkt af den givne Kurve udgaar 3 Tangenter. 
Man ser tillige let, at Indhyllingskurven hverken har Vendetangenter eller Dobbelt- 
tangenter. 
Vi ville endnu sporge om Antallet af Tangenter, der fra et Punkt P kunne udgaa 
til en fuldstendig kontinuert Kurve af tredie Orden. Er denne uden Dobbeltpunkter og 
Spidser, saa sammensættes den efter det ovenstaaende af tre elementære Buer. Fra intel 
Punkt kan der altsaa udgaa flere end seks Tangenter. At der virkelig kan findes saa 
mange, ses af en Figur. Men Antallet behover paa den anden Side ikke at vere saa stort. 
Ændrer man lidt paa Fig. 4, saaledes at Skæ- 
ringspunktet Z mellem to Vendetangenter rykker 
ned paa den anden Side af den asymptotiske 
Vendetangent, faar man en Kurve af tredie 
Orden og fjerde Klasse. 
Har Kurven et Dobbeltpunkt, bliver den 
altid af fjerde Klasse. Ligger P nemlig inden 
i Slojfen, kan der ikke derfra udgaa nogen 
Tangent. Ligger P derimod udenfor Slejfen, 
vil der fra P til denne Sløjfe kunne drages 
mindst en Tangent (en anden uegentlig kan 
