(6) 
(7) 
(8) 
34 
Kurverne af 3die Orden kunne henføres til to Typer, den ene er af 
fjerde, den anden af sjette Klasse. Til en Kurve G? af den første Type 
kan man foje en Kurve G af anden Orden, saaledes at G? + G* er af tredie 
Orden og sjette Klasse. 
Gaa Vendetangenterne gjennem samme Punkt, kan Kurven ikke vere en Del af en 
sammensat Kurve af tredie Orden. Vi kunne endnu opstille Setningen: 
Naar en Kurve G* af anden Orden hverken skærer en Kurve G® af 
tredie Orden eller nogen af dens Vendetangenter, vil Antallet af Kurvernes 
fælles Tangenter vere 2n, naar der udgaar n Tangenter til G? fra et vil- 
kaarligt Punkt af G?. 
Da det nævnte Tal efter Sætning (7) i 2 3 maa vere 0 eller 2», kommer det blot 
an paa at se, at der overhovedet findes mindst én fælles Tangent. Men dette er sikkert, 
thi da G er af ulige Orden, maa den ligge helt udenfor G?, saa at en Tangent til @°, 
der skærer G*, maa skære den i to Punkter P, og P,, der bevæge sig i modsatte 
Retninger, naar Tangenten beveger sig; 
; P, og P, maa derfor nadvendigvis have 
Sammenfald. 
Det er interessant, at man i de grafiske Kurvers Theori kan vende flere af de 
foregaaende Sætninger om. Vi ville her nojes med at bevise den almindeligste af dem: 
En lukket fuldstendig kontinuert Kurve, der ikke har andre Singu- 
lariteter end tre Vendetangenter, maa vere af tredie Orden (se Fig. 5). 
Kurven @ deles af Roringspunkterne A, B og C for de tre Vendetangenter a, b 
og c i tre Buer AB, BC og CA. Det kommer nu først an paa at bevise, at disse ere 
elementære Buer, hvilket efter det foregaaende vil vere godtgjort, naar vi bevise, at ingen 
Vendetangent kan skære en af de Buer, den berorer. 
Lad et Punkt M gjennemlebe Kurven. Tangenten m i M maa i hver af sine 
Stillinger skære Kurven i det samme Antal Punkter, da @ hverken har Dobbelttangenter 
eller Spidser; Skæringspunkternes Folgeorden paa G maa endvidere stadig vere den samme, 
da intet Sammenfald mellem dem kan finde Sted. Lad os nu antage, at Vendetangenten a 
foruden i A skærer i &,, Ry, Ry, .. Ron, hvilke Punkter antages at folge paa hinanden i 
denne Orden, idet man gjennemlober Kurven ved først at gjennemlobe Buen AB uden at 
overskride ©. (Paa denne Maade skal det stadig forstaas, naar vi sige, at et Punkt gjennem- 
lober en af Buerne). Naar nu M gjennemlober Buen AB fra A til B, ville alle Punkterne 
R hver for sig bevare deres Omlobsretning. Lad os antage, at A, falder paa Buen AB. 
R, kan da ikke bevæge sig i modsat Retning af M, thi i saa Fald maatte det et Sted 
paa denne Bue falde sammen med M, til Trods for, at Buen er uden Singulariteter. Det 
kan imidlertid heller ikke bevæge sig i samme Retning, thi da maatte M, der i B skal 
falde sammen med R,, her bevæge sig i samme Retning som R,, hvilket er imod 
