39 
En Kurve af tredie Orden, der med Undtagelse af et enkelt frem- (9) 
springende Punkt er fuldstændig kontinuert, vil have 1, 2 eller 3 Vende- 
tangenter, eftersom Punktet er af Iste, 2den eller 3die Art. 
Hvad nu Formerne af Kurverne angaar, er der meget lidt at tilfoje, naar Formen 
af den fuldstendig kontinuerte Kurve forudsettes vel bekjendt, idet man nemlig begynder 
med at tegne de afrundede Kurver (se Fig. 9, 10, 11). 
0 
Fig. 9 Fig. 10. Fig. 11. 
0 
Nyttigt er det dog og nødvendigt for Læren om Kurverne af fjerde Orden at bevise 
de folgende Smaasætninger. Herved skal først mindes om, at man ved en uegentlig 
Tangent i et fremspringende Punkt O forstaar en vilkaarlig af de gjennem O gaaende 
Linier af den Beskaffenhed, at den ved en lille Drejning om et af sine (fra © forskjellige) 
Punkter P kan bringes til at skære Kurven i to ved © nærliggende Punkter; begge disse 
Skæringspunkter forsvinde, naar OP drejes om P en lille Vinkel i modsat Retning. En 
Linie gjennem ©, der ikke er uegentlig Tangent, skærer Kurven kun én Gang i O. Det 
er klart, at ingen Linie kan vere Tangent i to forskjellige Punkter til en G?, selv om den 
den ene Gang skulde vere uegentlig. 
Af Tangenterne i et fremspringende Punkt ville enten begge, (10) 
eller én af dem, eller ingen af dem yderligere skære Kurven, eftersom 
Punktet er af 3die, 2den eller Iste Art. 
Naar nemlig en Tangent ¢ i © skærer Kurven i et Punkt P, maa en Nabotangent 
til ¢ yderligere skære i et Nabopunkt til P; da ingen ret Linie maa skære i flere end 3 
Punkter, folger nu Sætningen af den definerende Egenskab ved et fremspringende Punkt 
af hver af de tre Arter. 
Fra et fremspringende Punkt O udgaa 0, 1 eller 2 Tangenter, der (11) 
berøre udenfor ©, eftersom Punktet er af iste, 2den eller 3die Art. 
De selvsamme Slutninger, som benyttedes Side 30 til Bevis for (1) vise, at der 
ogsaa her fra hvert Kurvepunkt P udgaar to Tangenter; den eneste Forskel er den, at nu 
kan den ene af disse vere en uegentlig Tangent, dannet ved at forbinde P med ©. Lad 
os forst antage, at det fremspringende Punkt er af Iste Art, og lad os velge et Punkt M 
ner ved ©. Her maa Linien MO vere en uegentlig Tangent, thi hvis ikke, saa vil den i 
