(1) 
42 
Som Eksempel kunne vi tage den brudte Linie, der dannes ved at dele en Cirkel 
i et ulige Antal Dele ved Punkterne A,, A,, ... Azn+ı (hvor » > 1), idet da den polygonale 
Linie A, A, A, ... Apn+ı, der løber Cirklen to Gange rundt, vil vere en G* med 2n +1 
Dobbeltpunkter og lige saa mange Dobbelttangenter; man kan tilmed, om man vil, ved at 
give Liniestykkerne en passende lille Krumning, ogsaa sorge for, at Linien bliver fuld- 
stendig kontinuert. At en G* kan have et ubegrænset Antal Vendetangenter, har man et 
simpelt Eksempel paa i en forlenget Epicycloide, der lober Cirklen én Gang rundt og hvor 
det beskrivende Punkt ligger tilstrekkelig ner ved den rullende Cirkels Centrum. Derimod 
er Antallet af Spidser begrænset. Herved ville vi fastholde som en, om man vil, ny 
Vedtægt, at en Vendetangent og en Spidstangent altid skal betragtes som en Linie, der 
skerer i 3 sammenfaldende Punkter, da der altid i vilkaarlig Nerhed af en saadan Linie 
findes Linier, der skære i 3 adskilte Punkter. I Virkeligheden er denne Vedtægt kun ny 
paa den Maade, at den forhindrer en Dobbelttangent i samtidig at vere Vendetangent og 
Spidstangent, eller vere Vendetangent to Gange, eller Spidstangent to Gange. 
Vi ville nu straks bevise: 
En G" kan ikke have flere end tre Spidser. 
Denne Sætning er indbefattet i en senere, men kan ogsaa ses indirekte. Lad os 
nemlig antage, at Kurven havde 4 Spidser A, B, C og D. En Forbindelseslinie AB 
mellem to af Spidserne vil ikke yderligere skære Kurven, og man kan derfor altid — paa 
Grund af ovennævnte Vedtegt — velge en Linie i Nærheden af AD, der ikke har noget 
Punkt fælles med Kurven. Deraf folger, at man uden Specialisering i projektiv Forstand 
kan gaa ud fra, at Kurven eller i hvert Fald en Projektion af den ligger helt i det endelige. 
Lad nu Spidsernes Benævnelser vere valgte saaledes, at D ikke ligger i den endelige 
Trekant ABC. Men Kurven maa netop ligge i denne, da den f. Eks. skal gaa gjennem C 
og maa ligge helt paa den ene Side af AB. En fjerde Spids er altsaa en Umulighed. 
Opgiver man den særlige Vedtægt, bliver 4 Spidser mulige, hvorpaa Hypo- 
cycloiden med 4 Spidser afgiver Eksempel. 
En Kurve G* kan derimod have lige saa mange Beroringspunkter mellem to Grene, 
som det skal vere. 
Naar et af adskilte Kurver dannet System skal vere af fjerde Orden, paalegges 
der endvidere ikke derved Antallet af de enkelte Kurver nogen Begrensning. Man behover 
f. Eks. kun at vælge et vilkaarligt Antal Punkter, af hvilke ikke tre ligge ud i ret Linie, 
og omgive disse Punkter med tilstrækkelig smaa (sædvanlige) Ovaler. Det maa som en 
Folge deraf anses for naturligt, at vi i det folgende udelukkende holde os til en enkelt 
usammensat Kurve. 
Vi ville nu til at begynde med lade Kurver med Spidser og Dobbeltpunkter ude 
af Betragtning og bevise: 
