46 
med M — til at begynde med og derfor under hele denne Bevegelse lobe i modsat Ret- 
ning af M. Det andet Punkt P, maa imidlertid ogsaa gaa i modsat Retning af M. Under 
den nye Forudsætning kunne nemlig hverken P, eller P, forsvinde, og lige saa lidt gaa 
forbi hinanden, medens M løber fra R til S, og naar M falder i S, maa det derfor vere 
P,, som M nu falder sammen med, og paa det Sted lobe M og P, i modsat Retning. 
Gaar M nu videre og gjennemlober Buen ST, bevarer P, sin Retning, medens Retningen 
for P, skifter. Under denne Del af Bevægelsen lobe altsaa M og P, i samme Retning. 
Men det er umuligt, at under hele denne Bevægelse ?, og P, have eksisteret som adskilte 
Punkter, thi naar M falder i 7, maa det vere P,, som M der skal falde sammen med, 
da P, og P, ikke kunne have krydset hinanden, hvorefter Umuligheden følger deraf, at 
M og P, bevege sig i samme Retning. 
I det foregaaende have vi vel udtrykkelig antaget, at Kurven har mindst 3 Inflek- 
sionspunkter, men den sidste Del af den ovenstaaende Udvikling viser tillige, at én og kun 
én af de to Buer, hvori en Kurve med to Infleksionspunkter deles af disse, vil indeholde 
noget Roringspunkt for en Dobbelttangent; derefter viser den foregaaende Sætning, al 
G ikke kan have flere end én Dobbelttangent. Vor Sætning er altsaa fuldstændig godt- 
gjort, og man ser, at en G* uden Dobbeltpunkter og Spidser maa mindst have en 
Dobbelttangent. 
Man er nu i Stand til at give en næsten fuldstendig Beskrivelse af Formen 
for disse Kurver G4. Da der nemlig altid findes en Dobbelttangent, vil der ogsaa altid 
findes Linier, der ikke skære Kurven. Der ligger altsaa ikke noget specielt i, at vi lade 
Kurven ligge helt i det endelige. Efter at dette er opnaaet, eventuelt ved en Projektion, 
erstatte vi de til Dobbelttangenterne hørende indre Buer ved det endelige Stykke af den 
tilhorende Dobbelttangent. Denne Operation ville vi kalde at lukke for Infleksions- 
parrene. 
Hvad der nu er tilbage vil vere en kontinuert Kurve af anden Orden G?. Selve 
Dobbelttangenten kan nemlig ikke have noget Punkt udenfor det nævnte endelige Stykke 
fælles med Kurven, og ingen enkelt Tangent kan skære i noget Punkt udenfor Rorings- 
punktet, da ingen Skiften i Antallet af eventuelle saadanne Skæringspunkter kan finde 
Sted (se Sætning 4 2 3). ? 
For at konstruere den almindeligste Kurve af fjerde Orden uden 
Dobbeltpunkter og Spidser — Kurver af den forste Hovedtype — behover. 
man altsaa kun at begynde med en vilkaarlig Kurve af anden Orden og dernæst erstatte 
Korder i denne, der ikke skære hinanden, med passende bestemte indadgaaende Buer. De 
ere passende bestemte, naar en Vendetangent kun skærer i ét enkelt Punkt, og naar to 
forskellige af disse Buer ingen fælles Tangent have. 
Idet vi nu gaa over til Kurven med Dobbeltpunkt, bevises forst: 
