2 
Gjennem et Dobbeltpunkt af en Kurve af fjerde Orden udgaa enten 
to eller ingen Tangenter, der berore udenfor Dobbeltpunktet. 
Hermed er det forudsat, at Dobbeltpunktet ikke er Infleksionspunkt paa nogen af 
de to Buer, der gaa derigjennem. 
Lad O vere et Dobbeltpunkt. Forbindes © med et bevægeligt Kurvepunkt M, vil 
Forbindelseslinien endnu skære i et Punkt M,, der gjennemlober hele Kurven én Gang, 
naar M gjør det, da M og M, gjensidig éntydigt bestemme hinanden; af samme Grund 
ville de to ogsaa enten stadig lobe i samme Retning eller stadig i modsat Retning. Findes 
der én Tangent fra O, maa de lobe i modsat Retning, og der vil da desuden findes én og 
endnn kun én Tangent udgaaende fra ©. ‘ 
De Dobbelttangenter, hvorfra der ikke udgaar nogen Tangent, skulle siges at 
vere af forste Art, de andre af anden Art. Herved maa det bemærkes, at et Dobbelt- 
punkt O, der tillige er et Infleksionspunkt, altid regnes for at vere af anden Art; Vende- 
tangenten regnes, om man vil, for at berøre i et Nabopunkt til ©. 
Man maa erindre, at det, der er bestemt, er Antallet af de Linier, der gaa gjennem 
O og desuden skere i to sammenfaldende Punkter. Mellem de fra O udgaaende Tangenter 
medregnes derfor en Forbindelseslinie mellem O og en Spids, og mellem O og et frem- 
springende Punkt P, saafremt OP i P er «uegentlig Tangent». Da Sætningen ogsaa 
gjælder, naar © selv er en Spids, have vi her det tidligere nævnte Bevis for, at en Kurve 
af fjerde Orden ikke kan have flere end tre Spidser. 
Af vesentlig Betydning for det folgende er det nu: 
Alle Dobbeltpunkter paa en Kurve af fjerde Orden maa nodvendigvis 
vere af samme Art, med mindre der findes 3 Dobbeltpunkter. 
Lad os nemlig antage, at der fra et Dobbeltpunkt O, udgaa to Tangenter, fra et 
andet O, derimod ingen. Et Punkt M af Kurven forbindes med O, og Oy, og lad O, M 
og ©, M desuden skære henholdsvis iM, og M,. Naar nu M gjennemlober hele Kurven, 
maa M, og M, hver for sig gjore det samme, og efter det forrige ville M og M, lobe i 
modsat Retning, men M og M, stadig i samme. Derfor lobe M, og M, i modsat Ret- 
ning og maa nodvendigvis falde sammen. Dette kan kun ske i et nyt Dobbeltpunkt — da 
Linien O,O, ikke yderligere skærer Kurven — men her vil ogsaa finde to virkelige 
Sammenfald Sted mellem M, og M,, svarende til, at M beveger sig paa den ene eller 
paa den anden af de to Buer gjennem Dobbeltpunktet. Da der overhovedet kun kan findes 
to Sammenfald, er det altsaa sikkert, at der i det antagne Tilfelde findes netop tre og kun 
tre Dobbeltpunkter. Saadanne Kurver indtage derfor en Serstilling i topologisk Henseende; 
idet i dette Tilfelde Dobbeltpunkterne ikke behove at vere af samme Art. 
Naar man vil undersoge Formen af Kurver med Dobbeltpunkt, er det nyttigt at 
tænke sig Kurven sammensat af to Dele, der henge sammen i et Dobbeltpunkt O. Man 
(4) 
