49 
Punkt ©. Ved den sidste Overgang kan der imidlertid heller ingen Ændring ske, da @, 
kun har et enkelt fremspringende Punkt, og Ændringer i Antallet af Skeringspunkter i 
hvert Fald maatte ske et lige Antal Gange svarende til en Drejning paa 180°. Enhver ret 
Linie gjennem QO, skærer derfor @, i mindst to Punkter, da man altid kan skaffe en 
Linie, der skærer i et Punkt, og @, er af lige Orden. Dette maatte da ogsaa gjælde om 
de to Dobbeltpunktstangenter i O, til G,, men en saadan Linie vilde da skere G, + G, 
i mindst 5 Punkter, hvilket er umuligt. 
Lad en Tangent ¢, i © skære Kurven udenfor O i et Punkt N,, der antages at 
ligge paa Grenen G, (se Fig. 18 og 19). Naar nu en Linie m, drejer sig om © ud fra 
Stillingen ON, til den ene eller den anden Side, 
vil der optrede et Skæringspunkt M, mellem m, og 
Kurven G, + G, enten paa den ene eller paa den 
anden Side af O d.v.s. enten paa G, eller Gy. 
Lad os antage, at et Punkt M,, bevæger sig paa 
Grenen G, til en saadan Side, at det fjerde Skerings- 
punkt M, ogsaa til at begynde med befinder sig paa 
G,, og lad M, bevege sig fra N, indtil det forste 
Gang falder i ©. Den sidste Stilling for m, = OM, 
bliver da den anden Tangent ¢, i OY. Under denne 
Bevægelse kan M, ikke have overskredet sin Be- 
gyndelsesstilling N,; men deraf folger, at Linien 
m, — OM, ikke kan have overskredet Stillingen ¢, 
uden at skære Kurven i flere end 4 Punkter, hvilket er umuligt. Men lige saa lidt kan 
m, ved sin Bevægelse have overskredet /,, thi da Linien OM,, naar der ingen Tangent 
udgaar fra O, stadig maa dreje sig i samme Retning om O, saa maatte den for til Slut 
Fig. 18. 
at ende i ¢, nødvendigvis ogsaa en Gang have overskredet ¢,, hvilket, som ovenfor sagt, 
er umuligt. Men da Punktet M, kun over © kan gaa over fra Grenen G, til G,, saa 
maa det fra © forskjellige Skæringspunkt mellem ¢, og Kurven ogsaa blive paa G,. Vi 
have altsaa bevist, at begge Tangenterne {, og ¢, skære den samme Gren G;. 
Den derved bestemte G, kalde vi den ydre Gren, medens G, er den indre. 
Lad et Nabopunkt M til O paa G, være saaledes bestemt, at OM bliver Nabo- 
linie til ¢,. Tangenten m i M maa da skære den anden gjennem © gaaende Bue i et 
Nabopunkt P, til ©. Men P, maa udtrykkelig ligge paa G,, thi m berører G, i M og 
vides desuden at skære G, i et enkelt Punkt \,', der er Nabopunkt til det ovenfor nævnte 
Punkt N,; den maa derfor skære G, i endnu et Punkt. Det selvsamme gjælder, naar vi 
1) Den sidste Stilling kan ikke vere ¢,, thi m, vilde under Drejningen paa 180° da have overskredet 
t,, der i saa Fald maatte skære i flere end 4 Punkter. 
D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem, Afd. X. 1. 
