50 
vælge et saadant Nabopunkt M til O paa G,, at OM bliver Nabolinie til ¢,. Ifølge 
Definitionerne Side 36 se vi altsaa, at Punktet O paa den ydre Gren maa vere et 
fremspringende Punkt af {ste Art og paa den indre af 3die Art. 
Lad os nu betragte den indre og den ydre Gren hver for sig, og lad os paa begge 
afrunde det fremspringende Punkt paa den tidligere Side 36 beskrevne Maade. Herved vil 
der paa den ændrede nu fuldstændig kontinuerte indre Gren G, ikke optræde noget nyt 
Infleksionspunkt, saa at alle eventuelle Infleksionspunkter paa G, saavel for som efter 
Ændringen maa tilhore Infleksionspar, og alle eventuelle Dobbelttangenter maa vere af 
Iste Art. Paa den ydre Gren vil der derimod, da det fremspringende Punkt O her er af 
iste Art, optræde to nye Infleksionspunkter, der ligge lige saa ner ved O, som man selv 
vil. Disse maa tilhøre samme Infleksionspar; hvis dette nemlig ikke var Tilfældet, saa 
vilde de skilles ved et Roringspunkt for en Dobbelttangent til den ændrede Kurve, hvilket 
er umuligt, thi, naar der ingen Tangent gaar fra O til @,, saa kan der heller ingen Tangent 
gaa i vilkaarlig Nerhed af O, der berorer i et Punkt i endelig Afstand fra O. Til dette 
Infleksionspar hører en aldeles bestemt Dobbelttangent, der berører i to saadanne Punkter 
A og B, at der paa den indre Bue AD, hverken findes noget Roringspunkt for en Dobbelt- 
tangent eller noget fra de 2 tilkomne forskjelligt Infleksionspunkt. Ophæves nu Ændringen, 
bliver AB den eneste Dobbelttangent, der ikke er af Iste Art, og det af de to Buer OA 
og OB (med henholdsvis udelukket B og A) sammensatte Kurvestykke, bevarer den nys- 
nævnte Egenskab ved den indre Bue. 
Vi mangle endnu at vise, at der ikke findes andre Dobbelttangenter af anden Art 
end de-nysneynte, hvoraf der findes én svarende til hvert Dobbeltpunkt. 
Vi ville herved først betragte Bevægelsen af de to Punkter P, og P,, hvori Kurven 
skeres af Tangenten m i et Punkt M, der paa den ovennævnte Bue OA bevæger sig fra 
O til A. De to Punkter befinde sig, naar M er ner ved O, efter det tidligere nævnte, 
begge paa G,, og dette vil blive ved, thi ingen Tangent gaar gjennem O eller berører Gy. 
De to Punkter maa endvidere stadig bevege sig i indbyrdes modsatte Retninger, thi dette 
finder Sted, naar M er i Nerheden af A, og Buen OA indeholder intet Infleksionspunkt. 
Lad dernæst et Punkt M bevæge sig paa Fortsættelsen af Buen AO fra O ind paa 
den indre Gren @,, indtil et nyt Dobbeltpunkt naas. Til at begynde med maa de to 
Skæringspunkter ?, og P, mellem Kurven og Tangenten m i M atter begge befinde sig 
paa G,, men de to Punkter maa nu bevæge sig i samme Retning;. det ene og kun det 
ene af de to Punkter P har nemlig skiftet Bevægelsesretning, idet Punkt M paa en kon- 
tinuert Bue har overskredet O. 
Lad os nu forst tage Hensyn til det Tilfelde, at Kurven kun har det 
ene Dobbeltpunkt O. Af det nysnevnte folger da, at den indre Gren G, maa vere 
af anden Orden, og at denne ingen fælles Tangenter kan have med @,; M paa G, kan 
