(7) 
52 
Naar en Kurve af fjerde Orden skal have lutter Dobbeltpunkter af 
iste Art, maa disses Antal vere ulige. 
Lad nu Dobbeltpunkterne tagne i den Orden, hvori de folge paa hinanden f. Ex. 
paa G, vere O, O,, O,, ... Oon1, Od. Vi kunne da vise, at der paa den Bue af G,, 
der ligger mellem © og O, (med Udelukkelse af O, ...), hverken findes noget Infleksions- 
punkt eller noget Roringspunkt for en Dobbelttangent. Dette er nemlig en Folge af det 
ovenfor Side 50 beviste, at de to Skæringspunkter P, og P, mellem Kurven og Tangenten 
m i et Punkt M af G,, naar dette er ner ved O, begge ville befinde sig paa G, og end- 
videre bevæge sig i samme Retning, hvilket Forhold kun kan ændres ved, at M overskrider 
Roringspunktet for et nyt Dobbeltpunkt. Udelade vi derfor af hele Kurven den nævnte Bue 
OO,, tabes derved sikkert nok hverken noget Infleksionspunkt eller nogen Dobbelttangent. 
Ud fra O, kan man nu paany dele Kurven i en ydre og en indre Gren, Til den sidste 
horer den nys betragtede Bue O,O efter Kjendetegnene paa en saadan, nemlig at de tid- 
ligere nævnte Punkter P, og P, bevæge sig i modsatte Retninger paa Kurven, naar M 
bevæger sig paa Buen. Fra O, til det neste Dobbeltpunkt O, gaa dernæst en anden Del 
af samme indre Bue, hvilken heller ikke indeholder hverken noget Infleksionspunkt eller 
noget Roringspunkt for en Dobbelttangent. Man kan altsaa uden at ændre hverken Antallet 
af Infleksionspunkter eller af Dobbelttangenter stadig udelade Buer af indre Grene, der 
forbinde O med O,, O, med O, ... O1 med Oop, On med O. Den Restkurve At, der 
bliver tilbage, dannet af Buer af Grene, der ere ydre svarende til de Dobbeltpunkter, de 
indeholde, er nu en kontinuert Kurve, der har 2n-+-1 fremspringende Punkter af 1ste Art. 
Afrundes disse, faar man en fuldstendig kontinuert Kurve, der kun har Dobbelttangenter 
af iste Art og kun Infleksionspunkter i Infleksionspar. Som for, ser man nu, at de to 
nye Infleksionspunkter, der ved Afrundingen fremkomme ved et fremspringende Punkt, 
hore til samme Infleksionspar. Opheves derfor Afrundingen, optræde paa den ændrede 
Kurve RR", og altsaa ogsaa paa den oprindelige, lige saa mange Dobbelttangenter af 2den 
Art, som der findes Dobbeltpunkter. Endvidere optræde ogsaa alle Infleksionspunkter kun 
i Infleksionspar. Den i (6) opstillede Setning er nu endelig fuldstendig bevist, men tillige 
have vi vundet tilstrekkelig Herredomme over Figuren til at kunne give en Beskrivelse 
af den almindeligste Kurve af den anden Hovedtype (se Fig. 19). 
Kurven kan for det forste antages at ligge helt i det endelige. Dernæst kan man 
lukke for eventuelle Infleksionspar og yderligere tilføje de endelige Stykker AB, A, B,... 
Ao, Bo, af Dobbelttangenterne af 2den Art, der ligge mellem Roringspunkterne A og B, 
Aon, og Bon. Udelader man endelig som ovenfor Bueparrene OA og OB og de dermed 
analoge O, A, og O, B, ... On Aon 08 Oon Bon, dannes en Kurve J" af anden Orden; 
Betegnelsen A og B kuune tænkes valgte saaledes, at Punkterne A, B, A, ... Aon Bon 
folge paa hinanden i denne Orden paa J: Erindrer man nu den ovenstaaende’ Dannelse 
