54 
Form kan vel bestemmes direkte, men simplere er det at gjore Brug af den folgende lille 
Hjælpesætning, der ogsaa for de andre Formers Vedkommende skal benyttes paa samme 
Maade. Herved ville vi ved en Slojfe forstaa en saadan til et Dobbeltpunkt O hørende 
Gren, der ikke gaar gjennem noget yderligere Dobbeltpunkt, men naturligvis i O har et 
fremspringende Punkt. 
(8) Naar en Kurve (af fjerde Orden) har en Spids, kan man altid ved 
en lille Endring af Kurven i Nerheden af Spidsen, men uden yderligere 
at forandre den, skaffe en Kurve med Slojfe. 
Operationen bestaar i, at man losner Forbindelsen mellem de to Buer, der i 
Spidsen O stede sammen og trykke disse lidt ind mod hinanden og endelig forbinder de 
frie Ender A og B med en lille elementær Bue, der i A og B 
uden at danne Spidser slutte sig kontinuert til den ovrige Kurve 
(se Fig. 20). Derved dannes en Slojfe, der omslutter O. At 
Kurvens Orden ikke forages ved Ændringen, følger af, at 
en vilkaarlig Linie gjennem O hojst skerer den oprindelige 
Kurve i to Punkter med endelig Afstand fra O, og en Nabo- 
linie til Spidstangenten i hojst ét saadant Punkt; det samme 
Fig. 20. 
maa nemlig ogsaa gjælde om Linier, der ligge tilstrekkelig ner 
ved de nævnte. Af Definitionen for fremspringende Punkter (se Side 36) folger, at Slojfens 
fremspringende Punkt vil vere af 1ste eller 2den Art, eftersom Spidsen er af Iste eller 
2den Art. 
Da man ved de hidtil betragtede Kurver kun da kan have en Slojfe, naar Kurven 
kun har et enkelt Dobbeltpunkt, har man: 
(9) Naar en Kurve af fjerde Orden skal have en Spids, hvorfra ingen 
Tangenter udgaar, vil den ikke yderligere kunne have Dobbeltpunkter af 
1ste Art, og af Dobbelttangenter én af 2den Art foruden et vilkaarligt Antal 
af 1ste Art med tilhørende Infleksionspar. 
Formen, der er utvivisom ifølge Fig. 18, ligner i alt væsentlig Kardoidens 
bekjendte Figur. 
Forstaa vi ved ¢, og t, Antallet af Dobbelttangenter henholdsvis af 1ste og 2den 
Art, ved d Antallet af Dobbeltpunkter og ved & Antallet af Infleksionspunkter, har man 
efter det udviklede 
t, = be og à, = d, 
altsaa 
t tt =t=—d+te 
(10) 9: Antallet af Dobbelttangenter er lig med Antallet af Kurvens Dob- 
beltpunkter forøget med det halve Antal af Infleksionspunkter. 
