Spids regnes ved disse Kurver som ét Dobbeltpunkt; hvad Beroringspunkter mellem 
to Grene angaar, kan man efter frit Valg benytte enten den ene eller den anden af de 
nederst Side 53 nævnte Opfattelser. 
Vi skulle, efterhaauden som vi faa samtlige Kurveformer bestemte, eftervise, at 
denne Relation er gyldig i alle Tilfelde, hvor der overhovedet findes Dobbelttangenter. 
Dette er nemlig ikke altid Tilfeldet, som vi skulle se ved Kurverue af den neste Type. 
Vi ville ved Kurverne af den tredie Hovedtype forstaa Samlingen af de 
Kurver, hvor de Grene, der hore til et Dobbeltpunkt, kunne vere af ulige altsaa af tredie 
Orden. Man kan ikke sige, at en saadan Kurve ubetinget skal sammensættes af to 
Grene af ulige Orden, thi sely om dette finder Sted ved Overskæring i ét Dobbeltpunkt, 
er det muligt, at Kurven ved Overskæring i et andet Dobbeltpunkt deles i to Grene af 
lige Orden. 
Man har her folgende Sætning: 
En Kurve af fjerde Orden, der kan deles i to Grene af 3die Orden, 
maa have mindst 2 og hojst 3 Dobbeltpunkter. 
Tenke vi os Delingen i de to Grene G, og G, af ulige Orden foretagen ud fra 
‘et Dobbeltpunkt O, ville begge vere fuldstendig kontinuerte undtagen i O, hvor de have 
et fremspringende Punkt. Afrundes nu dette paa den tidligere Maade, ville de nydannede 
Kurver ikke lengere have noget Punkt felles i O; de maa derfor have mindst et Skerings- 
punkt udenfor O. Grenene G, og G, maa altsaa have mindst ét Punkt udenfor O felles. 
Men flere end ét Punkt kunne de ikke have felles; hvis nemlig O, og O, vare to fra O 
forskjellige Skæringspunkter, vilde Linien ©, O, skære saavel @, som G, i et nyt Punkt, 
d.v.s. Kurven G, + G, i 6 Punkter, hvilket er umuligt. 
Et tredie Dobbeltpunkt kan derimod optræde ved, at en af Grenene selv faar et 
Dobbeltpunkt med en sædvanlig Slajfe. Begge Grene kunne dog ikke have Dobbeltpunkt, 
thi Forbindelseslinien mellem disse to Dobbeltpunkter vilde skære G, + G, i 6 Punkter. 
Gruppen indeholder altsaa to adskilte Samlinger, nemlig Kurver med to og Kurver 
med tre Dobbeltpunkter. Om de forste har man: 
En Kurve af fjerde Orden, der er sammensat af to Grene af ulige 
Orden og har to Dobbeltpunkter, har, foruden disse, ikke andre Singulari- 
teter end 4 (isolerede) Infleksionspunkter. 
Kurven kan for det forste ingen Dobbelttangenter have, thi en saadan vilde skære 
Kurven i 6 Punkter. 
Lad os endvidere forst antage, at ingen af de gjennem det ene Dobbeltpunkt O 
gaaende Buer der har et Infleksionspunkt; Punktet O maa da enten paa begge de to til 
O hørende Grene vere fremspringende af 2den Art, eller paa den ene Gren af Iste og 
paa den anden af 3die Art. 1 begge Tilfælde forefindes efter Sætning (9) i 2 4 fire 
(14) 
(12) 
