_® 
I Dobbeltpunktet O, kan den ene af de to derigjennem gaaende Buer eller ogsaa 
begge have et Vendepunkt. I alle Tilfelde har Kurven imidlertid efter Udviklingerne i 
Slutningen af den forrige Paragraf to og kun to Infleksionspunkter. 
Det er muligt, at alle tre 
Dobbeltpunkter falde sammen, saa 
at man faar en Kurve af tredie 
Orden ved et tredobbelt Punkt i 
O, to Vendetangenter og ingen 
Dobbelttangent. Dens Form findes 
i Fig. 29. Det er aabenbart muligt, 
at Slejfen kan svinde ind, saa- 
ledes at der i © falder en Spids 
og en enkelt derigjennem gaa- 
ende Gren. 
I Figurerne af Kurver af 
den tredie Hovedtype have vi fundet 
Eksempler paa Kurver med tre 
Dobbeltpunkter, der ikke ere af 
samme Art. Man ser f.Ex. af Fig. 25 og Fig.26, at begge Kombinationerne: 2 af anden 
og 1 af første Art, og 2 af første og 1 af anden Art, ere mulige. Vi ville nu bevise, at 
Fig. 29. 
alle saadanne Muligheder ere udtømte ved Figurerne 21—25. Man har nemlig: 
(14) En Kurve af fjerde Orden, med tre Dobbeltpunkter, der ikke alle 
ere af samme Art, maa nodvendigvis kunne sammensettes af to Grene af 
tredie Orden, hvoraf den ene har en Slojfe. 
Vi ville fore dette Bevis paa den Maade, at vi gaa ud fra, at Kurven ved Over- 
skering i et vilkaarligt af de tre Dobbeltpunkter A, B og C deles i Grene af lige Orden, 
og eftervise, at Dobbeltpunkterne i saa Fald ikke kunne vere af forskjellig Art. 
Lad B vere af Iste Art, medens Arten af A er vilkaarlig. Gjennemse vi nu 
Beviset Side 48—49 for, at alle Dobbeltpunkterne, undtagen det udhevede Punkt A, hvori 
Overskæringen sker, paa en G4 med lutter Dobbeltpunkter af Iste Art, maa vere Skerings- 
punkter mellem de to Grene, der hore til A, saa vil man legge Merke til, at det i Beviset 
i Virkeligheden kun benyttes, at det betragtede fra A forskjellige Dobbeltpunkt er af forste Art. 
Deler man derfor den Kurve, vi nu undersoge, ud fra Dobbeltpunktet A i to Grene 
G, og G,, maa B, der er forudsat at vere af forste Art, efter det tidligere nodvendigvis 
vere et Skeringspunkt mellem G, og @,. Men derefter kan man se, at det samme ogsaa 
maa gjelde om det tredie Dobbeltpunkt C, og det hvad enten dette er af forste eller af 
anden Art, I Fald nemlig C var et Dobbeltpunkt paa en af Grenene f. Ex. paa @,, saa 
