ze 
vilde Linien BC skære @, og @,, der jo begge ere af lige Orden, foruden i B og Ci 
mindst endnu et Punkt, altsaa Kurven G, 4+@, i mindst 5 Punkter, hvilket er umuligt. 
Vi kunne dernest antage, at Betegnelserne ere valgte saaledes, at C er af anden 
Art. Der vil da fra C udgaa to Tangenter til Kurven, og lad os antage, at den ene ¢ af 
disse berører f. Eks. G,. Denne Linie skærer G, i mindst endnu et Punkt (foruden i C ) 
og derfor G, + G, i flere end 4 Punkter, hvilket er umuligt. 
De Kurver, hvis Dobbeltpunkter ikke alle ere af samme Art, hore altsaa til vor 
tredie Hovedgruppe, og i denne ere alle de typiske Former tidligere bestemte. 
Vi have altsaa kun tilbage at undersoge de Former, hvor alle Dobbeltpunkterne 
ere af anden Art og hvor tillige alle sammensættende Grene ere af lige Orden. Om disse 
resterende Kurver ville vi sige, at de danne den fjerde Hovedtype. 
Det vil ved en Række indledende Sætninger, som det vil vere nodvendigt forst at 
fremsette, for en vesentlig Del dreje sig om Slojfer paa Kurven'). Herved minde vi om, 
at vi ved en til et Dobbeltpunkt O hørende Slojfe (O) forstaa en til © hørende 
Gren af lige Orden, der ikke indeholder noget fra © forskjelligt Dobbeltpunkt; (0) er 
altsaa en Kurve af almindeligvis fjerde Orden, der med Undtagelse af et fremspringende 
Punkt i O er fuldstendig kontinuert. 
rn Naar Kurven har ét og kun ét Dobbeltpunkt, vil der til dette hore to Slojfer; 
undtages dette Tilfelde, der maa betragtes serskilt, vil der til hvert Dobbeltpunkt hejst 
svare én Slojfe; Forekomsten af Spidser, der efter Sætning (8) er indbefattet i den almin- 
deligere Theori, skal betragtes bagefter. 
Vi saa tidligere, at Kurverne af den anden Type i Almindelighed ikke havde Slejfer, 
men kun, naar Kurven specielt havde ét og kun ét Dobbeltpunkt; dette vil stille sig helt 
anderledes ved de Former, vi nu skulle behandle. 
Fra hvert Dobbeltpunkt af en Kurve af den fjerde Type udgaar én og 
kun én Tangent til hver Slojfe, der ikke hører til dette Dobbeltpunkt. 
Lad to Dobbeltpunkter vere O og O,, og lad os bestemme Tangenterne fra O til 
Slojfen (0,). Forbindes et vilkaarligt Punkt M af denne med O, vil Forbindelseslinien 
skere (O,) i endnu ét og kun ét Punkt. Da Forbindelsen mellem M og M, er ubetinget 
og gjensidig éntydig, vil der allsaa finde to og kun to Sammenfald Sted, saafremt M og 
M, bevege sig i modsatte Retninger. Lad os for at undersoge dette antage, at M til at 
begynde med beveger sig paa (O,) ud fra O, i en bestemt Retning. Saafremt da Linien 
OM til at begynde med anden Gang skerer (O,) i Punkter, der ogsaa ligge i Nerheden 
af O,, maa Bevægelsesretningerne af M og M, paa dette Sted (og altsaa overalt) vere 
modsatte. Men dette finder Sted, thi Linien OO, er en uegentlig Tangent til (O,); ellers 
!) Man kan folge Beviserne f. Eks. paa en vilkaarlig af Figurerne 32—36. 
(15) 
