vilde nemlig samme Linie skære (O,), der jo er kontinuert som Punktfrembringelse, i et 
Punkt forskjelligt fra ©, , altsaa hele Kurven af fjerde Orden i 5 Punkter, hvilket er 
umuligt. Foruden OO, gaar altsaa endnu en (egentlig) Tangent fra O til (0;). 
(16) En Kurve af fjerde Orden kan hojst have tre Slojfer. 
Dette folger for de her behandlede Kurveformers Vedkommende umiddelbart af den 
foregaaende Sætning i Forbindelse med den tidligere, at der fra et Dobbeltpunkt hojst kan 
udgaa to Tangenter til Kurven. Sætningen gjælder dernest ifolge det tidligere almindelig 
om alle Kurver af fjerde Orden’). 
(17) En Kurve af den fjerde Hovedtype maa mindst have to Slojfer. 
Denne Sætning er selvfolgelig, naar Kurven kun har ét Dobbeltpunkt. Findes flere, 
dele vi Kurven i to Grene G, og @, svarende til et vilkaarligt af Dobbeltpunkterne ©. 
De andre Dobbeltpunkter maa da enten være Skeringspunkter mellem de to Grene eller 
vere Dobbeltpunkter paa disse hver for sig, hvilke Muligheder i og for sig ikke udelukke 
hinanden. Ved Kurverne af anden Hovedtype saa vi, at alle Dobbeltpunkterne fremkom 
ved den forste af disse Muligheder. Her kunne vi imidlertid vise, at alle Dobbelt- 
punkter tvertimod maa fremkomme som Dobbeltpunkter paa hver Gren for 
sig. Lad os nemlig antage, at G, og @, kunde skære hinanden i et Punkt O,. Gjennem 
dette gaar to Tangenter til Kurven, og lad os antage, at den ene ¢ af disse Tangenter 
berører f. Ex. G,. Linien ¢ vil da skære baade G, og @, i det enkelte Punkt O, — 
thi ¢ kan ikke vere Tangent i O, — og maa derfor, da Grenene begge ere af lige Orden, 
skære disse i mindst endnu ét Punkt. Men dette er umuligt, da ¢ saa vilde skære G, + G, 
mindst 4 + 2 — 6 Punkter. 
Lad os nu antage, at G, ikke er en Sløjfe. Lader man da et Punkt M gjennem- 
lobe denne Gren i en bestemt Retning, vil M, inden det atter vender tilbage til O, nød- 
vendigvis være kommen til et Punkt O,, hvor det har været for (men paa en anden Bue 
gjennem O,), thi ellers var G, en Sløjfe. Den Kurvegren, som M gjennemlober fra O, 
tilbage til O, i den valgte Retning, vil altsaa sikkert indeholde mindst ét Dobbeltpunkt 
færre end @,, og ved Fortsættelse af Operationen maa man altsaa i hvert Fald naa en 
Slojfe. Det samme gjælder om Grenen G,. 
(18) To Sløjfer, der høre til forskjellige Dobbeltpunkter, ville altid 
have én og kun én egentlig fælles Tangent. 
Lad Sløjferne være (O,) og (0,). Fra O, udgaar efter (15) én egentlig Tangent til 
(0,). Dette vil imidlertid ogsaa gjælde for ethvert Punkt af (O,). Lade vi nemlig et Punkt 
1) Hr. Dr. Heegaard, hvem jeg meddelte denne Sætning, gjorde mig opmærksom paa, at dette uafhængigt 
af en sammenhængende Theori paa simpel Maade kan indses ved Gebetsinddelinger af lignende Art 
som de, jeg her har benyttet til det første Bevis for Sætning (1). 
