63 
M gjennemlobe hele Slojfen (O,), vil en Ændring i Antallet af egentlige Tangenter til (O,) 
udgaaende fra M kun kunne ske enten derved, at en Vendetangent til (O,) skærer (O,), 
eller derved, at en Dobbeltpunktstangent i O, skærer (O,). Begge disse Muligheder ere 
imidlertid udelukkede, da (O,) er af lige Orden, saa at de nævnte Linier vilde skære hele 
Kurven i flere end 4 Punkter. 
Den egentlige Tangent, der fra det bevægelige Punkt M udgaar til (O,), skærer 
endnu (O,) i et enkelt Punkt M,, og Forbindelsen mellem M og M, er gjensidig éntydig. 
At dernæst M og M, lobe i modsatte Retninger, ses ved at betragte Forholdene i Ner- 
heden af O,, idet man lægger Mærke til, at den egentlige Tangent til (0,), der udgaar 
fra O,, maa vere en uegentlig Tangent til (O,), hvilket vises aldeles som ovenfor (om 
Linien O, O i Beviset for (15)). Der maa derfor finde ét Sammenfald Sted mellem M og 
M, udenfor O,. 
Eftersom der fra et Dobbeltpunkt O udgaar 0, 1 eller 2 Tangenter 
til den ene G, af de to Grene, der støde sammen i O, ville Tangenterne 
t, og t i O skære samme Greni 0, 1 eller 2 Punkter. 
Lad os først antage, at ingen af Tangenterne æt, og {, skære G,, men at begge 
disse skære den anden Gren G,. To smaa Buer af @,, der begynde i O, og der berøre 
enten ¢, eller ¢,, ville vi kalde henholdsvis ao, og o,. Naar da et Punkt M i en bestemt 
Retning gjennemlober @, fra O tilbage til O, vil til at begynde med Linien OM foruden 
i O kun skære G, i det ene enkelte Punkt JZ, thi OM er da Nabolinie til ¢,, der skærer 
G, i ét (og kun ét) Punkt. Dette Forhold kan imidlertid ikke forandres ved M's yderligere 
Bevægelse, da et Skeringspunkt mellem OM og Kurven kun kan rykke fra @, ind paa 
G,, ved at OM overskrider enten ¢, eller ¢, og dette efter Forudsætningen er udelukket. 
Ingen Linie gjennem © skærer altsaa G, i flere end et Punkt, og der kan derfor ingen 
Tangenter findes. 
Hvis ¢,, men ikke ¢,, skærer G,, lade vi M gjennemlobe Grenen G,, ud fra O 
saaledes, at først ao, gjennemlobes. Indtil M naar Skeringspunktet N, mellem t, og G,, 
vil Linien OM kun skere G, i det ene Punkt M; overskrides derpaa N,, vil OM nu 
skære G, i to Punkter M og M', thi der maa ved denne Overgang enten vere vundet 
eller tabt et Skæringspunkt mellem OM og G,, og ét Skeringspunkt, nemlig M, er der jo 
givet at vere. Punktet M’ vil, idet N, overskrides af M, bevege sig paa Buen o,, ud fra 
O, og altsaa i modsat Retning af M. M og M' maa derfor nodvendigvis falde sammen i 
Roringspunktet 7 for en fra O udgaaende Tangent. Derefter beveger M sig videre fra 7 
mod © og kan nu i hvert Fald ikke paany træffe M', inden O er overskredet, men Opera- 
tionen standses, naar M forste Gang er naaet tilbage til O. Der findes altsaa i dette Til- 
felde kun én fra O udgaaende Tangent. 
Hvis endelig baade ¢, og æt, skære G,, vil ingen af disse Tangenter skære @,, 
(19) 
