64 
og det foregaaende viser da, at ingen af de to fra O til Kurven G, + G, udgaaende 
Tangenter berøre @,; de maa derfor begge berøre G,. 
Den omvendte Sætning er en direkte Folge af den her beviste. 
Sætningen gjælder, om man vil, ogsaa naar O er Infleksionspunkt paa den ene 
eller paa begge derigjennem gaaende Buer, idet en Vendetangent i O baade regnes som 
en gjennem © gaaende Tangent, der berører udenfor O, og som en Linie, der skærer i et 
Punkt udenfor O, nemlig i et Nabopunkt til O. 
(20) Deto Grene G, ogG,, hvori en Kurve af den fjerde Hovedtype deles 
ved Overskering i et Dobbeltpunkt O, have altid to og kun to felles 
Tangenter. 
Vi ville først antage, at ingen af de to Tangenter ¢, og t, i O skære G,, ligesom 
ogsaa, at ingen af disse ere Vendetangenter; ifolge den sidste Sætning ville da de to fra 
O udgaaende Tangenter til hele Kurven begge berøre Gy. 
Vi ville nu betragte et ved © nærliggende Punkt M, af G,, om hvilket vi antage, 
at det ligger paa den Bue o, af G,, der i O berorer t, (den anden ved O nerliggende 
Bue af G,, der i O berører t,, kalde vi o,). Det kommer da først an paa at indse, at 
der gjennem M,, ligesom gjennem O, gaar to og kun to Tangenter til @,. Den eneste 
Mulighed for en Ændring i Antallet er den, at det bevægelige Punkt M ved langs o, at gaa 
fra O til M,, kunde vere kommen over paa den positive Side af o,, saa at der til hele 
Kurven tilkom to Tangenter, af hvilke den enes Roringspunkt ligger paa G,, og den andens 
paa G, (nemlig paa hver sin Side af O). Nu maa imidlertid Antallet af alle de Linier, der 
gaa gjennem et eller andet Punkt og skære en lukket kontinuert Kurve i sammenfaldende 
Punkter (forstauet paa sædvanlig Maade, hvorefter en vilkaarlig: Linie gjennem et Dobbelt- 
punkt der ikke skærer i sammenfaldende Punkter) nodvendigvis vere lige. Hvis der altsaa 
ved Overgangen fra © til M, skulde optræde en ny Tangent til @,, maatte der endnu 
findes en fjerde Linie gjennem M,, der skar G, i sammenfaldende Punkter, og dette var 
kun muligt derved, at Linien M,O blev en uegentlig Tangent i O til @, (og derved ogsaa 
til @,). Men Linien OM, er en Nabolinie til £,, og vil derfor skære G, i ét og kun ét 
Punkt i endelig Afstand fra O; denne Linie vilde altsaa skære G, i tre Punkter, hvoraf 
de to faldt sammen i O, hvilket er umuligt. Men ligesom der fra et Nabopunkt til O paa 
G, udgaar to og kun to Tangenter til @,, vil det samme vere Tilfældet med et aldeles 
vilkaarligt Punkt af G,. Bevæger nemlig et Punkt M sig paa G, over M, fra O tilbage 
til O, kan ingen Ændring ske i Tangenternes Antal, thi ingen Vendetangent eller Dobbelt- 
tangent til @, kan skere @,, og lige saa lidt have G, og @, noget Punkt fælles. End- 
videre kan intet Roringspunkt for en fra M udgaaende Tangent gaa fra G, over paa G,, 
thi dette maatte ske ved, at Roringspunktet overskred O, hvilket er umuligt, da hverken 
t, eller ¢, skære G,. 
