= 
Vi skulle nu se, med hvilken Modifikation det samme vil gjælde, naar den ene ¢, 
af Tangenterne i O skærer G,. Af de to Tangenter, der udgaa fra O, vil i dette Tilfælde 
den ene berøre G,, den anden G,. Lad os vælge et Nabopunkt M, til O paa Buen ay. 
Vi se da som for, at Linien M,O ikke kan vere uegentlig Tangent i O. Men i saa Fald 
maa der nodvendigvis optrede en ny gjennem M, gaaende Tangent til @,, da Antallet af 
Linier gjennem M,, der skære i sammenfaldende Punkter, maa vere lige. Gjennemlober 
nu et Punkt M hele Grenen G, ud fra O og først langs 5,, vil der gjennem hver Stilling 
af M udgaa to og kun to Tangenter til G,, lige indtil M falder i Skeringspunktet N, 
mellem G, og ¢,, hvorved et Roringspunkt rykker fra G, ind paa G,. Men efter at M 
har overskredet N, vil paa den anden Side Linien MO nu vere uegentlig Tangent i O, 
thi MO var ikke uegentlig Tangent i Stillingen lige inden den naaede N,O. Vi se altsaa, 
at der ogsaa i dette Tilfælde fra hvert Punkt M af G, udgaar to Tangenter til G,, saa- 
fremt vi medregne MO, hver Gang den er uegentlig Tangent i ©. 
Beviset føres paa en aldeles lignende Maade, naar begge Tangenter ¢, og t, skære 
G,, men dette Tilfælde kan desuden — i hvert Fald for den her omhandlede Sætnings 
Vedkommende — føres tilbage til det første ved Ombytning af Grenenes Benævnelser. 
Vi vælge nu paa G, et vilkaarligt Punkt M og drage derigjennem de to Tangenter 
til G,. Skære disse G, i de to Punkter N, og N,, har man paa G, en Korrespondens 
af Punkter M og N, hvor der undtagelseslost til hvert Punkt M svarer to Punkter N, og 
omvendt; to Punkter N (eller A), der svare til samme Punkt M (eller N), kunne ikke falde 
sammen, da ingen Vendetangent eller Dobbelttangent til @, kan skære G,, og G, og Gy 
intet Punkt have felles. Heraf folger, at naar et Punkt M gjennemleber G, i en bestemt 
Retning, saa maa de to Punkter N ogsaa gjennemlobe G, i en bestemt Retning, der er 
den samme for begge Punkterne. Men denne Retning er tillige den omvendte af Bevegelses- 
retningen for M. Man kjender nemlig i Forvejen de to Sammenfald mellem M og N, der 
svare til de to fra O udgaaende Tangenter til Kurven; at en saadan Tangent m maa opfattes 
som fælles Tangent for G, og G, i udvidet Forstand, følger deraf, at m nødvendigvis 
maa vere uegentlig Tangent i O, da m ellers vilde skere Kurven i flere end 4 Punkter. 
I Nerheden af et saadant Sammenfald ser man nu straks, at M og N bevege sig i mod- 
satte Retninger; dette maa derfor vere Tilfældet overalt, og der maa derfor finde 4 Sam- 
menfald Sted mellem M og N. Der findes altsaa altid to egentlige felles Tangenter til 
G, og G,, foruden de to uegentlige, der ere representerede ved Tangenterne fra O til 
Kurven G, + Gy. 
Sætningen vedbliver at gjælde, ogsaa naar © er et Infleksionspunkt (én eller to 
Gange). Hvis f. Ex. ¢, er Vendetangent, kunne vi antage, at G, er den Gren, som berøres 
af den fra ¢, forskjellige, fra O udgaaende Tangent m til Kurven. Fra et Nabopunkt M, 
til O paa o, vil der da udgaa to Tangenter til @,, nemlig dels en Nabotangent til m, dels 
D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. X. 1. u 
