(23) 
___ 68 
For nu nærmere at beskrive Kurven kunne vi, da der findes Dobbelttangenter, 
uden Specialisering i projektiv Forstand gaa ud fra, at Kurven ligger helt i det endelige, 
hvilket fastholdes i det folgende. Forbindelseslinien mellem to af Dobbeltpunkterne kan 
da ikke yderligere skere Kurven. Deraf folger, at hver Slojfe ligger helt paa den ene Side 
af hver Forbindelseslinie mellem to Dobbeltpunkter; saaledes maa (O,) og (0,) ligge helt 
paa den ene Side af Linien O,O, og netop paa den Side, der ikke indeholder det tredie 
Dobbeltpunkt O,, thi gjennem dette Punkt skal Restkurven gaa. Restkurven ligger altsaa 
helt indeni «Dobbeltpunktstrekanten» 0,0,0,, og Slojferne ligge i hver sin af de tre 
andre Trekanter, der dannes af Dobbeltpunktstrekantens Sider i Forbindelse med den 
uendelig fjerne rette Linie. 
Der kan nu ikke vere nogensomhelst Tvivl om, hvorledes Kurven skal tegnes 
(se Fig. 30). Man begynder ved en vilkaarlig Dobbeltpunktstrekant O, 0, O,, og forbinder 
dens Vinkelspidser to og to med elementære Buer, der lobe helt indeni Trekanten og blot 
ere underkastede den Begrænsning ikke at skære hinanden. Derefter tegnes Slojferne, 
beliggende i de ovennævnte Trekanter. Berøres en Sløjfe iA og B af to Dobbelttangenter, 
kunne endelig Infleksionspar tilføjes paa den Bue af Sløjfen, der ligger mellem A og B, 
men ikke indeholder Dobbeltpunktet. De skulle tegnes saa!edes, at ingen af de tilkom- 
mende Vendetangenter skære andre Dele af Kurven end den Sløjfe, hvorpaa Rørings- 
punktet ligger. 
For den her beskrevne Kurve gjælder den tidligere nævnte Relation 
mellem Singulariteterne; er nemlig Infleksionsparrenes Antal >, bliver Antallet af 
Dobbelttangenter r + 3, af Vendetangenter 27, medens Dobbeltpunkternes Antal er 3. 
Hver af Sløjferne kan svinde ind og give Anledning til en Spids. Ad den Vej 
faar man ifølge (8) alle Former med Spids, der kunne høre til denne Type. Spidserne 
maa her være af Iste Art, da vi have bevist, at Dobbeltpunkterne paa Restkurven ere 
fremspringende af Iste Art. 
Det er muligt, at 1, 2 eller 3 af Sløjferne svinde ind til Spidser. Relationen (10) 
kan siges at være gjældende ogsaa i disse Tilfælde, naar man regner en Tangent gjennem 
en Spids, og Forbindelseslinien mellem to Spidser med blandt Dobbelttangenterne, og tillige 
regner hver Spids som et Dobbeltpunkt. 
Vi have her fundet den endelige Sætning om Kurver af fjerde Orden med det 
højeste Antal Spidser: 
Naar en Kurve af fjerde Orden skal have 3 Spidser, maa disse alle 
være af iste Art, og Kurven kan foruden disse ikke have nogensom- 
helst andre Singulariteter. 
De tre Dobbeltpunkter kunne endvidere aabenbart falde sammen, hvilket giver 
Formen i Fig. 31. Formerne 29 og 31 med de Underformer, hvor en Sløjfe svinder ind 
