71 
den givne Kurve i flere end 4 Punkter. Tillige mindes om, at Dobbeltpunkterne kunne 
tages i omvendt Orden. 
Et fremspringende Punkt paa en af de uegentlige Slojfer er altid af 
anden Art undtagen i et Punkt, der ogsaa ligger paa en egentlig Slojfe, 
ihvilket Tilfelde det kan vere fremspringende af forste eller anden Art. 
Lad forst O, vere et Dobbeltpunkt paa en egentlig Slajfe. Fra O, udgaar én 
Tangent til den anden egentlige Slojfe (O, 41), og altsaa højst én til Slojfen (O,). Efter- 
som der nu udgaar én eller ingen, vil Punkt O, paa (O,) vere fremspringende af 2den 
eller 3die Art. Beviset herfor fores aldeles som ved Formerne med 1 Dobbeltpunkt Side 
70. Paa Naboslojfen til (O,) maa O, derfor vere af 2den eller af iste Art; det Tilfælde, 
hvor O, er Infleksionspunkt paa en af de to derigjennem gaaende Buer, er et let Over- 
gangstilfelde. 
Lad nu (O,) vere en uegentlig Slojfe, hvor Index r er et af Tallene 2, 3...n + 1. 
Vi kunne da bortskere alle Slojferne (O,)(O,)...(O,-1), hvorefter der bliver en Restkurve 
tilbage, hvor (O,) vil blive til en-egentlig Slojfe (O/), naar vi afrunde det fremspringende 
Punkt, der findes i O,4. Fra ©, udgaar én Tangent til (0,44); der maa altsaa udgaa 
endnu én til Restkurven. Men da Linien 0,0,_, er uegentlig Tangent i O,_ til (O,) og 
vi afrunde i O,_,, maa det vere en gjennem O, gaaende Nabolinie til O, O,—,, der er 
denne anden Tangent. Til Slojfen (O,’) udgaar altsaa én Tangent fra O,, og dette maa 
derfor vere et fremspringende Punkt af 2den Art (sé som for Side 70). 1 Nærheden af 
O, er imdlertid (O,') sammenfaldende med (O,), og Sætningen er bevist. 
En Kurve af fjerde Orden med to Slojfer vil altid have to og kun to 
isolerede Infleksionspunkter, hvilke enten maa ligge paa de egentlige 
Slojfer eller paa de tilstodende uegentlige; ingen Slojfe (egentlig eller 
uegentlig) kan have flere end ét isoleret Infleksionspunkt, saafremt n >2. 
Den egentlige Slojfe (O,) sammen med Naboslojfen (0,) danner nemlig en Kurve 
med ét Dobbeltpunkt, der, naar vi afrunde det fremspringende Punkt O,, ifølge det tid- 
ligere vil have to isolerede Infleksionspunkter. Ophæve vi derefter Afrundingen, gaar ét 
Infleksionspunkt tabt, da Punktet ©, er fremspringende af 2den Art. Enten paa (O,) eller 
paa (0,) findes altsaa et enkelt isoleret Infleksionspunkt. Tage vi derefter (O,) sammen 
med (O,), og afrunde de fremspringende Punkter i O, og i O,, faar man en Kurve som 
for med to isolerede Infleksionspunkter. Opheve vi imidlertid Afrundingen, gaar der atter 
to tabt, saa at der hverken paa (O,) eller paa (O,) vil findes noget isoleret Infleksions- 
punkt, idet n>5. Et nyt isoleret Infleksionspunkt kan overhovedet forst komme enten 
paa (O,) eller paa den egentlige Slajfe (0,4 4). ; 
Foruden disse Infleksionspunkter kan Kurven naturligvis have Infleksionspar. 
En Kurve af fjerde Orden med to Sløjfer og flere end et Dobbelt- 
(26) 
(27) 
(28) 
