72 
punkt vil ikke have andre Dobbelttangenter af 2den Art end dels Fælles- 
tangenten for de to egentlige Slojfer, dels de fælles Tangenter for to paa 
hinanden folgende Slojfer (baade egentlige og uegentlige). 
Foruden de i denne Sætning nævnte kan Kurven naturligvis have Dobbelttangenter, 
der ere af Iste Art. En Dobbelttangent af Iste Art maa nodvendigvis berore en enkelt af 
Slejferne to Gange. Omvendt maa enhver saadan Tangent vere en Dobbelttangent af 1ste 
Art. Dette ses ved først at afrunde de fremspringende Punkter i Slejfen, hvorved faas en 
fuldstendig kontinuert Kurve uden Dobbeltpunkter, og derefter igjen ophæve Afrundingen. 
Betragtes f. Ex. en uegentlig Slejfe, gaar ved den sidste Operation én Dobbelttangent over 
til Forbindelseslinien mellem to paa hinanden folgende Dobbeltpunkter ifolge (25), og sam- 
tidig forsvinde Infleksionerne i to Nabopunkter til disse (der ere fremspringende af 2den 
Art paa Slojfen). Alle de ovrige Dobbelttangenter vedblive at vere af Iste Art efter Af- 
rundingens Opheven, thi herved endres Kurven kun i umiddelbar Nerhed af de frem- 
springende Punkter. Ved en egentlig Slojfe har man paa lignende Maade at tage Hensyn 
til den eventuelle fra Dobbeltpunktet udgaaende Tangent til Slojfen. 
De eneste Dobbelttangenter af 2den Art, der kunne fremkomme, ere altsaa felles 
Tangenter for to af Slojferne (baade egentlige og uegentlige). 
Ifølge Sætning (20) kan den egentlige Slojfe (O,) ikke berøres af flere end to 
Dobbelttangenter af anden Art, af hvilke den ene er den felles Tangent med den anden 
egentlige Slojfe (O, 44). Vi skulle bevise, at den anden Dobbelttangent anden Gang maa 
berøre i et Punkt af den uegentlige Slojfe (O,). (O,) og (O,) tagne tilsammen danne 
imidlertid en Kurve af fjerde Orden med et Dobbeltpunkt, der blot i O, har et frem- 
springende Punkt, og Beviset for (20) godtgjor, at der maa findes to og kun to fælles Tan- 
genter til (0,) og (O,), idet uegentlige Tangenter medregnes. En saadan uegentlig Tangent 
bar man nu i Tangenten ¢ fra O, til (O,). Hvis dette nemlig ikke var Tilfældet, vilde ¢ i 
O, skære (O,) i et enkelt Punkt, og maatte derfor skære (O,) i mindst endnu ét Punkt, 
altsaa den givne Kurve @* i mindst 5 Punkter, hvilket er umuligt. Der bliver altsaa én 
og kun én egentlig Fællestangent for (O,) og (0,), og denne er den eneste Dobbelttangent 
til Kurven, for hvilken (O,) kan spille Rolle. Bortskæres nu (O,) af G*, bliver en Rest- 
kurve @,' af samme Art tilbage, der blot i O, har et fremspringende Punkt. Her danne 
(0,) og (0,) en ny Kurve af fjerde Orden med ét Dobbeltpunkt, der har to Dobbelttan- 
genter, uegentlige Tangenter medregnede. Men en saadan har man ifolge (25) i Linien 
0, O,, og der bliver derfor kun én egentlig Dobbelttangent tilbage, der berører (O,) og 
(03), og denne sammen med den forrige ere tilmed de eneste, hvis Roringspunkter kunne 
ligge paa (O,). Anvendes nemlig Sætning (20) paa Restkurven @,', ser man, at der vil 
findes to og kun to fælles Tangenter (uegentlige medregnede) for (O,) og den Gren, der 
dannes ved af G,' at udelade (O,); den ene af disse er imidlertid Tangenten fra O, til 
