73 
(On+1), der som ovenfor ses at vere uegentlig Tangent i O, til (O,). Da denne Slut- 
ningsmaade kan fortsættes, til man naar (0,1), er herved Sætningen bevist. 
For disse Kurver gjælder ogsaa Relationen mellem Singulari- 
teterne. 
Findes nemlig n Dobbeltpunkter og r Infleksionspar, bliver Antallet af Dobbelt- 
tangenter r+-n-—+-1 og af Infleksionspunkter 2r +2. Betydningen af Spidser er nævnt 
tidligere. 
Det staar endnu tilbage at give en saadan Beskrivelse af Kurven af fjerde 
Orden med to Slojfer og flere end ét Dobbeltpunkt, at deres Konstruktion 
bliver utvivlsom. 
Da Kurven i hvert Fald har Dobbelttan- 
genter, kunne vi i det folgende uden Specialisering 
i projektiv Forstand gaa ud fra, at Kurven ligger 
helt i det endelige. 
Kurven med to Dobbeltpunkter 
maa betragtes for sig. Kurven er her sam- 
mensat dels af to Slejfer med fremspringende 
Punkter i Dobbeltpunkterne O, og O,, dels af 
to Buer, der forbinde O, med O,. Vi kunne nu 
sé, at Slojferne maa ligge paa den samme Side 
af Linien O, O,. Hvis dette nemlig ikke var Til- 
feldet kunde man velge et Punkt i hver Slojfe 
tilstrekkelig ner ved Dobbeltpunktet, og forbinde 
dem med en ret Linie; denne vilde da skere det 
endelige Liniestykke O, O,. Men en saadan Linie 
vilde da skere Kurven i 6 Punkter (mindst), nem- 
lig hver Slejfe i to Punkter, og hver af de nævnte 
Buer i et Punkt (mindst), da hver af disse i Forbindelse med det endelige Liniestykke 
0,0, begrenser en endelig Del af Planen. Man begynder altsaa Konstruktionen med 
at tegne to Slojfer med fremspringende Punkter i de to Dobbeltpunkter O, og O, be- 
liggende paa samme Side af Linien O, O, saaledes, at hverken nogen af Tangenterne i et 
Dobbeltpunkt, eller nogen Tangent udgaaende fra et Dobbeltpunkt, eller endelig nogen 
Vendetangent skerer disse Slojfer. Dernæst forbindes O, og O, med to Buer, der slutte 
sig fuldstændig kontinuert til Slejferne, (hvilke to danne en uegentlig Slojfe). Naar de to 
Roringspunkter mellem en Slojfe (egentlig eller uegentlig) og de to Dobbelttangenter, der 
berøre denne, ere A og B, kunne Infleksionspar i ubegrænset Antal tilføjes paa den af 
A og B begrænsede Bue, der ikke indeholder noget Dobbeltpunkt. Disse skulle tilføjes 
D. K. D, Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. X. 1. 10 
Fig. 34. 
