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passant par les points Y,?, Y,° .... Yo qui correspondent à X,! et se suivent dans cet 
ordre sur la courbe, et s’arretant finalement en A. A ce dernier moment les points du 
groupe Y occuperont les mémes places qu’occupaient originellement les points de ce 
méme groupe, leur ordre étant le méme, mais un point Y ne se trouvera pas a sa place 
primitive. Or, puisqu'au point Yo, comme a tout autre point fixe de la courbe, doivent 
correspondre g points X, il faut que les g—1 points Y1, Y?, ...., Y?-!, aient passé par 
ce point et non pas d'autres. X étant revenu en A, Y2 se confondra donc avec Yj. 
L'acheminement du point X transformera donc le groupe des Y par la substitution. 
72 70 79 i 
(2: ae nt ee Dy ee eves 
p—q+2 77—9+3 7P 7. Aa 
M ee en 
Ce tableau montre que le point X a rencontre deux fois chacun des points 
yı y®...Y@, y compris le point A, et une fois chacun des autres points Y®+!... Y?. 
Le nombre des points doubles sera done 
2gt+p—q=—p+7. 
Le théorème reste encore vrai si, les autres conditions maintenues, un point Y 
demeure immobile pendant qu'un point correspondant parcourt un are fini. 
Ce theoreme sera la base de presque tous nos raisonnements. Il nous servira 
surtout à définir par une méthode régulière toutes les formes possibles des courbes de 
quatrieme ordre. ; 
2 2. Courbe de second ordre; arc élémentaire, 
Nous allons nous occuper des courbes graphiques, c.ad., des courbes planes, 
tracées au crayon sur le papier, ou formées par des projections de différents arcs de 
ces courbes. 
L'ordre d'une pareille courbe est le nombre maximum de points d’intersection 
avec une droite; sa classe est le nombre maximum de tangentes passant par un même point. 
Une courbe de second ordre ne passe pas par plus de cinq points 
pris tout à fait arbitrairement. 
En joignant deux points fixes, mais arbitraires, de la courbe avec un point mobile, 
on aura deux faisceaux à correspondance univoque. Le théorème découle donc de 2 1 (1). 
Pour déterminer la courbe il faut en connaître tous les points. 
Une courbe de second ordre est aussi de seconde classe. 
C'est une conséquence de notre principe appliqué à la correspondance entre les 
points X et Y en lesquels la courbe coupe les droites passant par un point fixe P. Sl 
passe deux tangentes par P, le point est extérieur à la courbe ou du côté positif de 
l'arc; dans l’autre cas, il est intérieur à la courbe ou du côté négatif de l'arc voisin. 
Ce théorème est vrai, même quand la courbe a des points saillants, à tangentes 
différentes. En ce cas nous dénommons tangente impropre toute droite passant 
par un point A et infiniment rapprochée d'une droite qui couperait la courbe en 
deux points infiniment voisins de A. On regarde comme complètement continue 
toute courbe continue n'ayant ni point saillant ni segment rectiligne d'une longueur finie. 
(1) 
