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Citons encore le théorème suivant. 
Si les points X et Y d'une @? sont en ligne droite avec un point P extérieur à 
la courbe, les tangentes en X et en Y se coupent en un point Z dont le lieu geometrique 
est coupé en un point unique par chaque droite ne coupant pas G?. 
Considérons maintenant deux courbes de second ordre et cherchons la relation 
entre les nombres de leurs points communs et tangentes communes, voir fig. 1 page 17. 
En premier lieu nous supposerons que les deux courbes n’ont aucun point com- 
mun. Supposant en outre qu'elles aient au moins une tangente commune, il est facile 
de démontrer qu’elles en auront quatre. En effet, il est évident qu’on peut alors appliquer 
notre principe à la correspondance (2-2) formée par les points X et Y auxquels l’une des 
courbes est coupée par les tangentes à l’autre. 
Si l'une des courbes est extérieure à l’autre il y a certainement quatre tangentes 
communes (et réciproquement). 
Passons au cas où les deux courbes ont, ni plus ni moins, deux points communs. 
Comme on l’a fait remarquer il y aura certainement des tangentes communes. Il y a donc 
aussi des droites qui ne coupent ni l'une ni l’autre des courbes données et l'on pourra 
alors, sans diminuer la généralité des résultats, supposer les deux courbes tellement 
projetées qu'aucune ne s’etende à l'infini. 
Imaginons maintenant que les deux courbes a et 2 soient partagées chacune en deux 
parties a = a, + a, et 2 = P, + P, telles que a, est en dehors de 2 et 2, extérieur 
à a,, voir fig. { page 17. Alors le contour a, + 2, = À se trouvera en dehors d’une 
courbe #4 formée par 2, et le segment fini AB. Par un point arbitraire M de À passent 
donc deux tangentes à 2", t, et ¢, et nous allons considérer les deux points P, et P, 
auxquels À est coupée par ces tangentes en dehors de M. Pour certaines positions de 
M sur À ces tangentes pourront être impropres, c. åd. que ce seront des droites joignant 
M à A ou à B. En discutant la figure on montre que notre principe général peut 
s'appliquer à la correspondance (MP) qui, par conséquent, aura quatre points doubles. 
Mais deux de ces points se trouvent en A et B; a et 2 auront donc deux tangentes 
communes et pas plus. On peut réduire au cas précédent le cas général où les courbes 
ont et des points communs et des tangentes communes. Car, en considérant les arcs a,, 
a» ... de a extérieurs à A, on trouve comme ci-dessus deux tangentes communes à f et 
à chacun des arcs a,, @ ... On aura donc finalement 
Si deux courbes de second ordre n'ont aucun point commun, elles 
ont ou quatre tangentes communes ou aucune; si elles n’ont aucune 
tangente commune, elles ont quatre points communs ou aucun; dans 
tout autre cas les deux nombres sont égaux. 
Dans ce qui suit nous entendrons par arc élémentaire un arc de courbe du 
second ordre et nous supposerons toutes nos courbes composées d’arcs élémentaires; ce 
qui revient à supposer ces lignes composées de parties de polygones convexes. 
En joignant deux ares élémentaires de manière qu'ils aient la même tangente au 
point commun, on aura les quatre formes représentées fig. 2 page 20. Il est facile d'en 
tirer les propositions connues relatives aux points singuliers, savoir, au point d'inflexion et 
aux deux points de rebroussement, les seuls qui puissent étre représentés sur les courbes 
