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graphiques. Outre ces points nous considerons comme singularites les points doubles et 
les tangentes doubles. 
Concernant les arcs élémentaires on a les théorémes suivants, dont la démonstra- 
tion découle d'une discussion directe de la correspondance entre un point arbitraire M de 
la courbe et les points P auxquels la courbe peut étre coupée par la tangente en M. 
Un are AB sans singularités et qui n’est coupé par aucune droite 
en plus de deux points, est élémentaire. 
Un arc AB sans singularités et qui n’est coupé par aucune des 
tangentes en A et en B, est élémentaire. 
A ces théorèmes on pourra évidemment appliquer le principe de dualité. 
Un arc AB sans singularités, qui n'est pas coupé par la tangente 
en À et auquel on ne peut mener aucune tangente par À, est élémentaire. 
D'après ce théorème il est facile de déterminer l'arc élémentaire maximum abou- 
tissant à un point donné et s'étendant dans un sens déterminé sur une courbe donnée. 
2 3. Théorèmes généraux sur les courbes graphiques. 
La notion de l'arc élémentaire permet de démontrer exactement la proposition suivante. 
Une courbe fermée, parfaitement continue et sans aucune singu- 
larité, est nécessairement du second ordre (voir fig. 3 pag. 24). 
Ce qu'il faut démontrer, c'est que l'arc élémentaire o qui part dun point À de 
la courbe, finira en un point infiniment voisin de A. Dans le cas contraire supposons 
que l'arc se termine en un point B et qu'on ait choisi les dénominations de manière que 
la tangente en B passe par À. Si alors on joint « à un segment déterminé (AB), de 
la droite AB on déterminera une courbe de second ordre /’ et commencera par démontrer 
que les allongements de Vare o au delà de A et au delà de B tombent dans deux régions 
différentes séparées par I. 
Alors, en discutant la figure on montre que la courbe donnée ne pourra pas tra- 
verser le segment (AB), sans donner naissance à une singularité. 
Il n'existe pas de courbes fermées et parfaitement continues qui, 
en fait de singularités, aient seulement, soit un point d’inflexion, soit un 
point de rebroussement, soit un point double, soit une tangente double. 
On démontre ce théorème en considérant la correspondance entre un point mo- 
bile M de la courbe et un point tangentiel P de M (P est tangentiel à M, si la 
tangente?en M passe par le point P de la courbe). 
Puisque les points d’intersection d'une courbe fermée et d'une droite mobile se 
présentent ou s’evanouissent par paires, on voit que 
toute courbe fermée est coupée par chaque droite ou en un nombre 
pair ou en un nombre impair de points. 
Facile à démontrer, la proposition suivante est utile en beaucoup de cas. 
Une courbe fermée et continue, qui n'est coupée par aucune de 
ses tangentes en plus de n points, n'est coupée par aucune droite en 
plus de x +2 points. 
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