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Le nombre des tangentes communes à une courbe € et à une 
courbe I" de seconde classe qui ne coupe ni C ni les tangentes d’in- 
flexion de C, sera 0 ou 2n, si par un point de /’passent n tangentes à C. 
Ce theoreme se deduit aisement de notre principe general de correspondance. 
Dans beaucoup de cas il ne sera pas nécessaire de supposer J’ de second ordre. 
L’ordre d'une courbe fermée et parfaitement continue et le nombre 
de ses inflexions sont tous les deux pairs ou tous deux impairs. 
Le nombre des intersections (simples) de deux courbes fermées 
est impair, si les ordres des courbes sont tous deux impairs; dans tout 
autre cas il est pair. 
Ces deux théorèmes sont connus et se démontrent en remarquant que le nombre 
des tangentes issues d'un point P ne change pas si l'on fait parcourir au point P un 
chemin fermé quelconque. 
Il va de soi qu'une courbe est d'ordre pair quand elle limite une région déterminée 
du plan. Mais la réciproque aussi est vraie. 3 
Une courbe fermée d'ordre pair et sans points doubles partage le 
plan en deux regions distinctes et deux seulement. 
La démonstration se dédouble comme suit. 
1) Si un chemin d'un point ? à un autre point Q a un nombre impair de points 
de rencontre avec la courbe donnée C, il en sera de même pour tout chemin entre P et Q. 
2) Si un chemin entre P et Q coupe C en un nombre pair de points, ou pourra. 
toujours trouver entre P et Q un autre chemin tel qu'il n'ait avec la courbe aucun point 
commun. Si la droite PQ coupe la courbe en A, B ... K, ledit chemin est composé 
des segments rectilignes PA, BC... KQ combinés avec des arcs infiniment voisins des 
arcs AB, CD ... de la courbe donnée. 
Une courbe d'ordre impair, fermée et sans points doubles ne limite 
aucune région du plan. 
Soient P et Q deux points arbitraires du plan et supposons que la droite PQ 
coupe la courbe donnée C en A et en A de manière que les segments PA et QA ne 
contiennent aucun point de la courbe, autres que A et K. 
Alors le chemin composé des deux segments rectilignes PA et KQ et dun are 
infiniment voisin de l'un ou de l’autre des arcs AX de la courbe donnée, conduira de P 
à Q sans traverser la courbe, car ou l’un ou l’autre de ces deux arcs AX contiendra un 
nombre pair d'inflexions. 
2 4. Courbes de troisiéme ordre. 
Considérons d'abord la courbe générale, c. à d. complètement continue, sans points 
doubles ni points de rebroussement. 
Par un point arbitraire M de la courbe générale G? passent deux 
tangentes à la courbe qui ont leurs points de contact en dehors de M. 
La correspondance entre les points X et Y auxquels la courbe est coupée par 
les droites passant par M, est univoque: il y a donc ou deux tangentes passant par M 
J 
